Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
(Oscilações) Seja p(x, y)=e^{x} sin y, que descreve uma onda atenuada. Encontre px e py e discuta a variação com relação a x e y.
(Oscilações) Seja p(x, y)=e^{x} sin y, que descreve uma onda atenuada. Encontre px e py e discuta a variação com relação a x e y.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) encontrar as derivadas parciais
e
, e (2) discutir como
varia em relação a
e a
.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de . Não há restrição de domínio fornecida, então assumimos
.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Vou explicar devagar. A derivada parcial
é a taxa de variação de
quando só mexemos em
e mantemos
fixo. Formalmente:
Analogamente,
mede a variação quando só mexemos em
:
Na prática, para calcular cada parcial usamos as regras usuais de derivação, tratando a outra variável como constante.
Passo 3
Quais regras de derivada vamos usar aqui?
- A derivada da exponencial
em relação a é . Em símbolos: . - A derivada do seno
em relação a é . Em símbolos: . - Quando diferenciamos
em relação a , a parte é tratada como constante. Quando diferenciamos em relação a , a parte é tratada como constante.
Passo 4
Cálculo de
. Mantemos
fixo, então
é constante:
Colocando de forma direta:
Observação útil (que costuma cair em prova como “pegadinha”): aqui
. Ou seja, a taxa de variação em
é exatamente a própria função — isso vem do fato de
.
Passo 5
Cálculo de
. Mantemos
fixo, então
é constante:
Portanto:
Passo 6
Discussão da variação em relação a
. Pontos-chave:
- O fator
é sempre positivo para todo : . - O sinal de
vem apenas de . Logo: - Se
(ou seja, ), então e aumenta quando aumenta (mantendo fixo). - Se
(ou seja, ), então e diminui quando aumenta. - Se
(ou seja, ), então e é estacionária em naquele .
- Se
- Magnitude/atenuação: para um
fixo, a amplitude da onda (valor absoluto) escala como . Assim, ao aumentar a amplitude cresce exponencialmente; ao diminuir a amplitude decai exponencialmente. (Dependendo de como o problema interpreta “atenuada”: se o eixo aponta para a direção onde diminui, então a amplitude decai nessa direção.)
Passo 7
Discussão da variação em relação a
. Pontos-chave:
- O sinal de
vem de , pois . - Se
(por exemplo ), então e aumenta quando aumenta (com fixo). - Se
, então e diminui quando aumenta. - Se
(ou seja, ), então e é estacionária em .
- Se
- A dependência em
é puramente oscilatória (seno/cosseno), periodicamente variando com período . O fator só muda a amplitude dessa oscilação para cada faixa de .
Passo 8
Observações adicionais úteis para prova:
- Não existem pontos onde ambas as parciais sejam zero simultaneamente, porque exigir
implica e exigir implica ; não há que satisfaça e ao mesmo tempo. Portanto o gradiente nunca é o vetor nulo. - Exemplo numérico rápido para fixar: em
temos e . Então e .
Passo 9
Dica de prova (prática rápida): ao ver
, lembre que derivar em
normalmente só afeta
e em
só afeta
. Isso economiza tempo — trate a outra função como constante.