Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
(Oscilações) Seja p(x, y)=e^{x} sin y, que descreve uma onda atenuada. Encontre px e py e discuta a variação com relação a x e y.

Passo 1

O enunciado dá a função \;p(x,y)=e^{x}\sin y\; e pede duas coisas: (1) encontrar as derivadas parciais \;p_x\; e \;p_y\;, e (2) discutir como p varia em relação a x e a y.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de p(x,y). Não há restrição de domínio fornecida, então assumimos x,y\in\mathbb{R}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Vou explicar devagar. A derivada parcial \;p_x(x,y)\; é a taxa de variação de p quando só mexemos em x e mantemos y fixo. Formalmente:
p_x(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{p(x+h,y)-p(x,y)}{h}.
Analogamente, \;p_y(x,y)\; mede a variação quando só mexemos em y:
p_y(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{p(x,y+h)-p(x,y)}{h}.
Na prática, para calcular cada parcial usamos as regras usuais de derivação, tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Quais regras de derivada vamos usar aqui?
  • A derivada da exponencial \;e^x\; em relação a x é \;e^x\;. Em símbolos: \dfrac{d}{dx}e^x=e^x.
  • A derivada do seno \;\sin y\; em relação a y é \;\cos y\;. Em símbolos: \dfrac{d}{dy}\sin y=\cos y.
  • Quando diferenciamos \;e^{x}\sin y\; em relação a x, a parte \sin y é tratada como constante. Quando diferenciamos em relação a y, a parte e^{x} é tratada como constante.

Passo 4

Cálculo de \;p_x\;. Mantemos y fixo, então \sin y é constante:
p_x(x,y)=\sin y\cdot\frac{d}{dx}e^x=\sin y\cdot e^x.
Colocando de forma direta:
p_x(x,y)=e^{x}\sin y.
Observação útil (que costuma cair em prova como “pegadinha”): aqui \;p_x(x,y)=p(x,y)\;. Ou seja, a taxa de variação em x é exatamente a própria função — isso vem do fato de \dfrac{d}{dx}e^x=e^x.

Passo 5

Cálculo de \;p_y\;. Mantemos x fixo, então e^x é constante:
p_y(x,y)=e^x\cdot\frac{d}{dy}\sin y=e^x\cos y.
Portanto:
p_y(x,y)=e^{x}\cos y.

Passo 6

Discussão da variação em relação a x. Pontos-chave:
  • O fator e^x é sempre positivo para todo x: \;e^x>0\;.
  • O sinal de p_x vem apenas de \sin y. Logo:
    • Se \sin y>0 (ou seja, y\in(2k\pi,\; (2k+1)\pi)), então \;p_x>0 e p aumenta quando x aumenta (mantendo y fixo).
    • Se \sin y<0 (ou seja, y\in((2k-1)\pi,\;2k\pi)), então \;p_x<0 e p diminui quando x aumenta.
    • Se \sin y=0 (ou seja, y=k\pi), então \;p_x=0 e p é estacionária em x naquele y.
  • Magnitude/atenuação: para um y fixo, a amplitude da onda (valor absoluto) escala como |p|=e^{x}|\sin y|. Assim, ao aumentar x a amplitude cresce exponencialmente; ao diminuir x a amplitude decai exponencialmente. (Dependendo de como o problema interpreta “atenuada”: se o eixo x aponta para a direção onde x diminui, então a amplitude decai nessa direção.)

Passo 7

Discussão da variação em relação a y. Pontos-chave:
  • O sinal de p_y vem de \cos y, pois e^x>0.
    • Se \cos y>0 (por exemplo y\in(-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;\tfrac{\pi}{2}+2k\pi)), então \;p_y>0 e p aumenta quando y aumenta (com x fixo).
    • Se \cos y<0, então \;p_y<0 e p diminui quando y aumenta.
    • Se \cos y=0 (ou seja, y=\tfrac{\pi}{2}+k\pi), então \;p_y=0 e p é estacionária em y.
  • A dependência em y é puramente oscilatória (seno/cosseno), periodicamente variando com período 2\pi. O fator e^x só muda a amplitude dessa oscilação para cada faixa de x.

Passo 8

Observações adicionais úteis para prova:
  • Não existem pontos onde ambas as parciais sejam zero simultaneamente, porque exigir p_x=0 implica \sin y=0 e exigir p_y=0 implica \cos y=0; não há y que satisfaça \sin y=0 e \cos y=0 ao mesmo tempo. Portanto o gradiente nunca é o vetor nulo.
  • Exemplo numérico rápido para fixar: em x=0,\;y=\pi/6 temos \sin(\pi/6)=\tfrac{1}{2} e \cos(\pi/6)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então \;p_x(0,\pi/6)=e^0\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}\; e \;p_y(0,\pi/6)=e^0\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 9

Dica de prova (prática rápida): ao ver e^x\sin y, lembre que derivar em x normalmente só afeta e^x e em y só afeta \sin y. Isso economiza tempo — trate a outra função como constante.

Resposta

p_x(x,y)=e^{x}\sin y — varia com o sinal de \sin y; magnitude cresce/decai como e^{x}.
p_y(x,y)=e^{x}\cos y — varia com o sinal de \cos y; comportamento oscilatório em y com amplitude multiplicada por e^{x}.

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