Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
(Volume) Para h(x, y)=x^{2} y, interprete x como largura e y como altura de um objeto. Calcule hx e hy e explique o que representam.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: temos a função \;h(x,y)=x^{2}y\;. O enunciado diz para interpretar \;x\; como largura e \;y\; como altura de um objeto (logo \;h\; é o volume desse objeto, pois é área da base \times altura). As perguntas são:
  • Calcular \;h_x\; (derivada parcial de \;h\; em relação a \;x😉.
  • Calcular \;h_y\; (derivada parcial de \;h\; em relação a \;y😉.
  • Explicar o que cada uma dessas derivadas representa (interpretação física/intuitiva).
Todas as informações relevantes dadas: a fórmula \;h(x,y)=x^{2}y\; e a interpretação física \;x= largura, \;y= altura.

Passo 2

O que é uma derivada parcial em palavras simples: a derivada parcial de \;h\; em relação a \;x\; mede a taxa de variação de \;h\; quando só mudamos \;x\; e mantemos \;y\; fixo. Analogamente, a derivada parcial em relação a \;y\; mede a taxa de variação de \;h\; quando só mudamos \;y\; e mantemos \;x\; fixo. Formalmente, por definição de limite,
\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=\lim_{t\to 0}\frac{h(x+t,y)-h(x,y)}{t},
\frac{\partial h}{\partial y}(x,y)=\lim_{t\to 0}\frac{h(x,y+t)-h(x,y)}{t}.
Aqui a ideia prática (mais usada em prova) é: ao derivar em relação a uma variável, tratamos a outra como constante e aplicamos as regras de derivação de funções de uma variável.

Passo 3

Calcular \;h_x\; passo a passo usando a regra do produto/constante:
A função é \;h(x,y)=x^{2}y\;. Para derivar em relação a \;x\; tratamos \;y\; como constante. Podemos ver \;h(x,y)=y\cdot x^{2}, ou seja, constante y multiplicando x^{2}. A derivada de \;x^{2} em relação a \;x é \;2x. Logo,
\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=y\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=y\cdot 2x.
Em forma simplificada:
\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=2xy.

Passo 4

Calcular \;h_y\; passo a passo:
Agora derivamos em relação a \;y\;, tratando \;x\; como constante. Escrevendo \;h(x,y)=x^{2}\cdot y, vemos que é uma constante \;x^{2} vezes a função linear \;y. A derivada de \;y em relação a \;y é 1. Logo,
\frac{\partial h}{\partial y}(x,y)=x^{2}\cdot\frac{d}{dy}(y)=x^{2}\cdot 1.
Assim:
\frac{\partial h}{\partial y}(x,y)=x^{2}.

Passo 5

Interpretação física e units (explicação didática):
  • Significado de \;h_x(x,y)=2xy\;: é a taxa de variação do volume quando aumentamos a largura \;x\; em uma unidade (ou infinitesimalmente), mantendo a altura \;y\; fixa. Em linguagem prática: se eu aumentar a largura em \;\Delta x\; pequeno, com \;y\; fixo, o volume muda aproximadamente em \;\Delta h \approx 2xy\,\Delta x\;. As unidades: se \;x e \;y estão em metros, \;h em metros cúbicos, então \;h_x tem unidade metros quadrados, o que faz sentido (variação de volume por variação de comprimento é uma área).
  • Significado de \;h_y(x,y)=x^{2}\;: é a taxa de variação do volume quando aumentamos a altura \;y\;, mantendo a largura \;x\; fixa. Intuitivamente, como a base é quadrada de lado \;x, a variação do volume por unidade de altura é exatamente a área da base, que é \;x^{2}. Se altura aumenta \;\Delta y\; pequeno, \;\Delta h \approx x^{2}\,\Delta y\;.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (faça na prova se quiser checar resultados):
Suponha \;x=2\; metros e \;y=3\; metros. Então
\frac{\partial h}{\partial x}(2,3)=2\cdot 2\cdot 3=12,
\frac{\partial h}{\partial y}(2,3)=2^{2}=4.
Interpretação numérica: mantendo \;y=3\; fixo, um aumento pequeno de \;x em \;0,01\; m aumenta o volume aproximadamente em \;12\cdot 0{,}01=0{,}12\; m ^3. Mantendo \;x=2\; fixo, aumentar a altura em \;0,01\; m aumenta o volume aproximadamente em \;4\cdot 0{,}01=0{,}04\; m ^3.

Passo 7

Resumo final e incentivo: calculamos as duas parciais, entendemos que \;h_x\; mede quanto o volume muda quando mexemos só na largura e \;h_y\; mede quanto o volume muda quando mexemos só na altura. Isso é exatamente a intuição que costuma cair em prova: trate a outra variável como constante e aplique derivação de uma variável. Você já tem a técnica — com um pouco de prática isso fica natural. Força aí, você consegue!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=2xy — representa a taxa de variação do volume quando a largura x varia e a altura y é mantida fixa.
\displaystyle \frac{\partial h}{\partial y}(x,y)=x^{2} — representa a taxa de variação do volume quando a altura y varia e a largura x é mantida fixa.

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