Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
(Volume) Para h(x, y)=x^{2} y, interprete x como largura e y como altura de um objeto. Calcule hx e hy e explique o que representam.
(Volume) Para h(x, y)=x^{2} y, interprete x como largura e y como altura de um objeto. Calcule hx e hy e explique o que representam.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: temos a função
. O enunciado diz para interpretar
como largura e
como altura de um objeto (logo
é o volume desse objeto, pois é área da base
altura). As perguntas são:
- Calcular
(derivada parcial de em relação a 😉. - Calcular
(derivada parcial de em relação a 😉. - Explicar o que cada uma dessas derivadas representa (interpretação física/intuitiva).
Todas as informações relevantes dadas: a fórmula
e a interpretação física
largura,
altura.
Passo 2
O que é uma derivada parcial em palavras simples: a derivada parcial de
em relação a
mede a taxa de variação de
quando só mudamos
e mantemos
fixo. Analogamente, a derivada parcial em relação a
mede a taxa de variação de
quando só mudamos
e mantemos
fixo. Formalmente, por definição de limite,
Aqui a ideia prática (mais usada em prova) é: ao derivar em relação a uma variável, tratamos a outra como constante e aplicamos as regras de derivação de funções de uma variável.
Passo 3
Calcular
passo a passo usando a regra do produto/constante:
A função é . Para derivar em relação a
tratamos
como constante. Podemos ver
, ou seja, constante
multiplicando
. A derivada de
em relação a
é
. Logo,
A função é
Em forma simplificada:
Passo 4
Calcular
passo a passo:
Agora derivamos em relação a , tratando
como constante. Escrevendo
, vemos que é uma constante
vezes a função linear
. A derivada de
em relação a
é
. Logo,
Agora derivamos em relação a
Assim:
Passo 5
Interpretação física e units (explicação didática):
- Significado de
: é a taxa de variação do volume quando aumentamos a largura em uma unidade (ou infinitesimalmente), mantendo a altura fixa. Em linguagem prática: se eu aumentar a largura em pequeno, com fixo, o volume muda aproximadamente em . As unidades: se e estão em metros, em metros cúbicos, então tem unidade metros quadrados, o que faz sentido (variação de volume por variação de comprimento é uma área). - Significado de
: é a taxa de variação do volume quando aumentamos a altura , mantendo a largura fixa. Intuitivamente, como a base é quadrada de lado , a variação do volume por unidade de altura é exatamente a área da base, que é . Se altura aumenta pequeno, .
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar (faça na prova se quiser checar resultados):
Suponha metros e
metros. Então
Suponha
Interpretação numérica: mantendo
fixo, um aumento pequeno de
em
m aumenta o volume aproximadamente em
m
. Mantendo
fixo, aumentar a altura em
m aumenta o volume aproximadamente em
m
.
Passo 7
Resumo final e incentivo: calculamos as duas parciais, entendemos que
mede quanto o volume muda quando mexemos só na largura e
mede quanto o volume muda quando mexemos só na altura. Isso é exatamente a intuição que costuma cair em prova: trate a outra variável como constante e aplique derivação de uma variável. Você já tem a técnica — com um pouco de prática isso fica natural. Força aí, você consegue!