Resolva os seguintes problemas, mostrando todos os cálculos intermediários:
Calcule integral sin ^3 x cos ^2 x dx utilizando a técnica de integração por partes ou simplificação com identidades trigonométricas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral sin^3 x ,cos^2 x ,dx
O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade sin^2 x = 1 - cos^2 x para simplificar o integrando e em seguida aplicar a substituição u = cos x.

Passo 2

Usando sin^2 x = 1 - cos^2 x escrevemos
sin^3 x ,cos^2 x = sin x;sin^2 x;cos^2 x = sin x,(1 - cos^2 x),cos^2 x = sin x,(cos^2 x - cos^4 x)
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I = integral sin x,(cos^2 x - cos^4 x),dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = cos x, du = -sin x,dx ;Longrightarrow; sin x,dx = -du
Assim
I = integral (cos^2 x - cos^4 x),sin x,dx = - integral (u^2 - u^4),du

Passo 4

Agora integramos em u:
- integral (u^2 - u^4),du = -l(u^33 - u^55r) + C = -u^33 + u^55 + C
Voltando a x com u=cos x, obtemos
I = -cos^3 x3 + cos^5 x5 + C

Resposta

boxedintegral sin^3 x ,cos^2 x ,dx = -cos^3 x3 + cos^5 x5 + C

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