- Seja
e
. Considere a função
. Siga o roteiro para mostrar que
.
:
a) Primeiro recorde que
, pois as funções exponencial e logaritmo são inversas uma da outra;
b) Utilize a igualdade do item anterior para reescrever a função
como
;
c) Aplique a regra da cadeia para calcular a derivada de
e conclua o exercício.
a) Primeiro recorde que
b) Utilize a igualdade do item anterior para reescrever a função
c) Aplique a regra da cadeia para calcular a derivada de
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
para
e
. Vamos usar a propriedade de que exponencial e logaritmo natural são funções inversas, reescrever
em termos de
e em seguida aplicar a regra da cadeia para derivar.
Passo 2
Recordamos que, para qualquer
, vale
pois
e
são funções inversas.
Passo 3
Usando essa igualdade, reescrevemos
Passo 4
Agora derivamos
. Seja
. Então, pela regra da cadeia,
Como
, concluímos que