1. Seja a>0 e a neq 1. Considere a função y=a^x. Siga o roteiro para mostrar que y^prime=a^x. ln a :
    a) Primeiro recorde que e^ln (a)=a, pois as funções exponencial e logaritmo são inversas uma da outra;
    b) Utilize a igualdade do item anterior para reescrever a função y como y=e^x cdot ln a;
    c) Aplique a regra da cadeia para calcular a derivada de y e conclua o exercício.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=a^x para a>0 e aneq1. Vamos usar a propriedade de que exponencial e logaritmo natural são funções inversas, reescrever a^x em termos de e e em seguida aplicar a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Recordamos que, para qualquer a>0, vale
e^ln(a) = a,
pois e^(cdot) e ln(cdot) são funções inversas.

Passo 3

Usando essa igualdade, reescrevemos
y = a^x = l(e^ln(a)r)^x = e^,xln(a)

Passo 4

Agora derivamos y = e^,xln(a). Seja u(x)=xln(a). Então, pela regra da cadeia,
y' = ddxl(e^u(x)r) = e^u(x)cdot u'(x) = e^,xln(a)cdot ln(a)
Como e^,xln(a)=a^x, concluímos que
y' = a^x,ln(a)

Resposta

y' = a^x,ln(a)

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