Suponha que exista um hotel com infinitos quartos, chamado hotel de Hilbert, e que este esteja lotado. considere e resolva as seguintes situações:
a) Ao chegar 100 hóspedes. Como hospedá-los?
b) Ao chegar um ônibus com infinitos passageiros, como hospedá-los?
c) Ao chegar infinitos ônibus, cada um com infinitos passageiros. Como hospedar esses passageiros?
a) Ao chegar 100 hóspedes. Como hospedá-los?
b) Ao chegar um ônibus com infinitos passageiros, como hospedá-los?
c) Ao chegar infinitos ônibus, cada um com infinitos passageiros. Como hospedar esses passageiros?
Passo 1
O enunciado fala do “hotel de Hilbert” com quartos numerados de
a
, todos ocupados, e pede três situações de realocação para caber novos hóspedes. O conteúdo é de infinito numerável e construções de bijeções entre
e
. Vamos usar injeções simples e a função de emparelhamento (pairing function).
Passo 2
Para acomodar 100 hóspedes a mais, basta deslocar cada hóspede atual do quarto
para o quarto
. Isso é uma injeção de
em
e libera precisamente os quartos \r
Então os novos 100 hóspedes ocupam esses quartos livres na ordem que chegarem.
Passo 3
Para um ônibus com infinitos passageiros numerados
, primeiro deslocamos cada hóspede atual do quarto
para o quarto
. Assim todos os quartos pares ficam ocupados pelos antigos hóspedes, e todos os quartos ímpares
ficam livres. Em seguida, damos ao passageiro
do ônibus o quarto ímpar de índice
, isto é, o quarto \r
Passo 4
Para infinitos ônibus numerados
, cada um com passageiros
, combinamos as duas ideias:\r
- Primeiro deslocamos cada hóspede atual do quarto
para o quarto , liberando todos os quartos ímpares.\r - Em seguida enumeramos todos os passageiros novos por pares
usando a função de emparelhamento de Cantor, por exemplo \r
que é uma bijeção
. \r
3. Damos ao passageiro do ônibus
o
-ésimo quarto ímpar, ou seja,\r
3. Damos ao passageiro
Isso injeta todos os novos passageiros nos quartos ímpares, sem conflito.
Resposta
(a) Deslocar hóspede do quarto
para
; liberar
. \n\r
(b) Deslocar hóspede do quarto para
; passageiro
vai ao quarto
. \n\r
(c) Deslocar hóspede do quarto para
; numerar novos passageiros por
e colocar o passageiro
do ônibus
no quarto
.
(b) Deslocar hóspede do quarto
(c) Deslocar hóspede do quarto