Resolva os seguintes problemas de otimização.
4. Determine as dimensões de um cilindro, inscrito em uma esfera de raio
, cuja área da superfície externa total é a máxima possível. Determine então a razão entre o diâmetro da base e a altura do cilindro.
Resposta.
raio da base
altura do cilindro
(esta é a razão área maior
Sugestão. Uma atenção necessária. Escolhendo r como variável, em algum momento serão buscadas soluções da equação
. Quadrando ambos os membros chegaremos a
. Mas se
então
, o que descarta um dos valores de
.
4. Determine as dimensões de um cilindro, inscrito em uma esfera de raio
Resposta.
Sugestão. Uma atenção necessária. Escolhendo r como variável, em algum momento serão buscadas soluções da equação
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as dimensões (raio da base
e altura
) de um cilindro inscrito numa esfera de raio
de modo que sua área total da superfície externa seja máxima. O conteúdo que precisamos usar é otimização de função de uma variável, usando derivada e a relação geométrica de cilindro inscrito em esfera.
Passo 2
Como o cilindro está inscrito na esfera, a metade da altura
, o raio da base
e o raio da esfera
satisfazem o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo centro da esfera, o centro da base do cilindro e um ponto da circunferência da base:
Dessa igualdade isolamos
em função de
:
Passo 3
A área total da superfície do cilindro é a soma de duas bases mais a lateral:
Substituindo
obtemos
Passo 4
Para achar o máximo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Zerando
e multiplicando por
resulta
Elevando ao quadrado:
Fazendo
, temos
Para que
(lado direito não pode ser negativo), deve-se escolher
Passo 5
Logo
e
Passo 6
A razão entre o diâmetro da base
e a altura
fica