Resolva os seguintes problemas de otimização.
4. Determine as dimensões de um cilindro, inscrito em uma esfera de raio R, cuja área da superfície externa total é a máxima possível. Determine então a razão entre o diâmetro da base e a altura do cilindro.
Resposta. r= raio da base =raiz5+raiz510 R, h= altura do cilindro =2 raiz5-raiz510 R 2 r / h= raiz5+12 (esta é a razão área maior
Sugestão. Uma atenção necessária. Escolhendo r como variável, em algum momento serão buscadas soluções da equação r raizR^2-r^2=2 r^2-R^2. Quadrando ambos os membros chegaremos a r^2=5 pm raiz510 R^2. Mas se r^2=5-raiz510 R^2 então 2 r^2-R^2<0, o que descarta um dos valores de r^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as dimensões (raio da base r e altura h) de um cilindro inscrito numa esfera de raio R de modo que sua área total da superfície externa seja máxima. O conteúdo que precisamos usar é otimização de função de uma variável, usando derivada e a relação geométrica de cilindro inscrito em esfera.

Passo 2

Como o cilindro está inscrito na esfera, a metade da altura h/2, o raio da base r e o raio da esfera R satisfazem o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo centro da esfera, o centro da base do cilindro e um ponto da circunferência da base:
l(h2r)^2 + r^2 = R^2
Dessa igualdade isolamos h em função de r:
h = 2,raizR^2 - r^2

Passo 3

A área total da superfície do cilindro é a soma de duas bases mais a lateral:
S(r) = 2pi r^2 + 2pi r,h
Substituindo h=2raizR^2 - r^2 obtemos
S(r) = 2pi r^2 + 4pi r,raizR^2 - r^2

Passo 4

Para achar o máximo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
S'(r) = 4pi r + 4pil(raizR^2 - r^2 + rcdot-rraizR^2-r^2r) =4pil(r + raizR^2 - r^2 - r^2raizR^2 - r^2r)
Zerando S'(r) e multiplicando por raizR^2-r^2 resulta
rraizR^2 - r^2 + (R^2 - r^2) - r^2 = 0 Longrightarrow rraizR^2 - r^2 = 2r^2 - R^2
Elevando ao quadrado:
r^2,(R^2 - r^2) = (2r^2 - R^2)^2 ;Longrightarrow; 5r^4 -5R^2r^2 + R^4 = 0
Fazendo x=r^2, temos
5x^2 -5R^2x + R^4=0 ;Longrightarrow; x = 5pmraiz510,R^2
Para que 2r^2-R^2>=0 (lado direito não pode ser negativo), deve-se escolher
r^2 = 5+raiz510,R^2

Passo 5

Logo
r = Rraiz5+raiz510,
e
h = 2,raizR^2 - r^2 = 2,R,raiz1 - 5+raiz510 = 2,R,raiz5-raiz510

Passo 6

A razão entre o diâmetro da base 2r e a altura h fica
2rh = 2Rraiz5+raiz5102Rraiz5-raiz510 = raiz5+raiz55-raiz5 = 1+raiz52

Resposta

r = Rraizdfrac5+raiz510, h = 2Rraizdfrac5-raiz510, dfrac2rh = dfrac1+raiz52

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