Uma barra de metal à temperatura de 60^circ C foi colocada em uma sala com temperatura constante e igual a 5^circ C. Após 10 minutos mediu-se a temperatura da barra acusando 40^circ C. Pergunta-se:
a) Qual o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 10^circ C ?
b) Qual a temperatura da barra após 22 minutos?

Passo 1

O enunciado trata do resfriamento de uma barra segundo a Lei de Newton do Resfriamento. A temperatura ambiente é Ts=5^circC, a temperatura inicial da barra é T(0)=60^circC e após 10 min verifica-se T(10)=40^circC. A fórmula geral é
T(t)=Ts+l(T(0)-Tsr)e^-kt
onde k>0 é a constante de resfriamento.

Passo 2

Para achar k, usamos T(10)=40^circC. Substituindo na fórmula:
40 = 5 + 55,e^-10k
Isolando o exponencial,
e^-10k = 40-555 = 3555 = 711

Passo 3

Tomando logaritmo natural,
-10k = ln!l(tfrac711r) Longrightarrow k = -110,ln!l(tfrac711r) = 110,ln!l(tfrac117r)

Passo 4

(a) Tempo para a barra atingir 10^circC. Impomos T(t)=10:
10 = 5 + 55,e^-kt Longrightarrow e^-kt = 555 = 111 Longrightarrow -kt = ln!l(tfrac111r) = -ln(11)
Logo
t = ln(11)k = ln(11)tfrac110ln(tfrac117) = 10;ln(11)ln(tfrac117) approx 53,2 minutos

Passo 5

(b) Temperatura após 22 minutos. Usamos
T(22)=5 + 55,e^-22k
Como e^-10k=7/11, temos
e^-22k = l(e^-10kr)^2,2 = l(tfrac711r)^2,2 approx 0,3713
Portanto
T(22) = 5 + 55cdot 0,3713 approx 5 + 20,42 = 25,4^circC

Resposta

a) tapprox53,2 minutos.
b) T(22)approx25,4^circC

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