Resolva os seguintes problemas de otimização.
2. Um estudante quer construir um viveiro retangular para seu hamster, usando parte de uma parede como um dos lados e cercando os demais três lados com 3 metros de tela disponíveis, obtendo a maior área retangular possível. Quais devem ser as dimensões de seu viveiro?
Resposta. O viveiro deve ter
na frente e
nos lados.
2. Um estudante quer construir um viveiro retangular para seu hamster, usando parte de uma parede como um dos lados e cercando os demais três lados com 3 metros de tela disponíveis, obtendo a maior área retangular possível. Quais devem ser as dimensões de seu viveiro?
Passo 1
O enunciado pede para maximizar a área de um viveiro retangular usando parte de uma parede como um lado (sem cercar) e cercando os outros três lados com
de tela. O conteúdo envolve otimização de função de duas variáveis com restrição, que será tratada reduzindo a uma variável e usando derivada para achar o máximo.
Passo 2
Definimos as variáveis: seja
a largura do viveiro (lado paralelo à parede oposto à parede) e seja
a profundidade (cada um dos dois lados perpendiculares à parede). A área é
e a restrição do comprimento de tela é
Passo 3
Isolamos
pela restrição:
Substituindo em
, obtemos a função de uma variável:
Passo 4
Calculamos a derivada de
e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
Passo 5
Verificamos que esse ponto é máximo usando a segunda derivada:
logo
m dá máximo de área. Substituindo em
vem
Resposta
O viveiro deve ter
m de largura frontal e
m de profundidade em cada um dos lados.