Resolva os seguintes problemas de otimização.
2. Um estudante quer construir um viveiro retangular para seu hamster, usando parte de uma parede como um dos lados e cercando os demais três lados com 3 metros de tela disponíveis, obtendo a maior área retangular possível. Quais devem ser as dimensões de seu viveiro?
Resposta. O viveiro deve ter 1,5 m na frente e 0,75 m nos lados.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a área de um viveiro retangular usando parte de uma parede como um lado (sem cercar) e cercando os outros três lados com 3 m de tela. O conteúdo envolve otimização de função de duas variáveis com restrição, que será tratada reduzindo a uma variável e usando derivada para achar o máximo.

Passo 2

Definimos as variáveis: seja x a largura do viveiro (lado paralelo à parede oposto à parede) e seja y a profundidade (cada um dos dois lados perpendiculares à parede). A área é
A = x,y
e a restrição do comprimento de tela é
x + 2y = 3

Passo 3

Isolamos x pela restrição:
x = 3 - 2y
Substituindo em A, obtemos a função de uma variável:
A(y) = (3 - 2y),y = 3y - 2y^2

Passo 4

Calculamos a derivada de A e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
A'(y) = 3 - 4y, A'(y)=0 Longrightarrow 3 - 4y = 0 Longrightarrow y = tfrac34

Passo 5

Verificamos que esse ponto é máximo usando a segunda derivada:
A''(y) = -4 < 0,
logo y = tfrac34 m dá máximo de área. Substituindo em x = 3 - 2y vem
x = 3 - 2l(tfrac34r) = tfrac32

Resposta

O viveiro deve ter 1,5 m de largura frontal e 0,75 m de profundidade em cada um dos lados.

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