Um corpo estava inicialmente com temperatura de 10^circ C. Colocou-se este corpo em um recipiente cuja temperatura constante era de 120^circ C. Verificou-se que após 10 minutos a temperatura do corpo atingiu 32^circ C. Qual o tempo necessário para o corpo atingir 43^circ C ?

Passo 1

O enunciado dá um corpo que parte de temperatura inicial T0=10^circC e é colocado num meio de temperatura constante M=120^circC. Após 10 minutos a temperatura do corpo atinge 32^circC. Queremos achar o instante t em que a temperatura será 43^circC. Vamos usar a Lei de Resfriamento (ou Aquecimento) de Newton.

Passo 2

A Lei de Newton afirma que a temperatura T(t) do corpo satisfaz
T(t)=M+(T0-M)e^-k,t,
onde k>0 é a constante de proporcionalidade. Substituindo M=120 e T0=10, obtemos
T(t)=120-110,e^-k,t

Passo 3

Usamos a condição T(10)=32. Então
32 = 120 - 110,e^-10k
o que dá
110,e^-10k = 88 Longrightarrow e^-10k = tfrac88110=0,8 Longrightarrow k = -tfrac110ln(0,8)

Passo 4

Agora impomos T(t)=43:
43 = 120 - 110,e^-k,t Longrightarrow 110,e^-k,t = 77 Longrightarrow e^-k,t=0,7 Longrightarrow t = -1kln(0,7)
Substituindo k achado antes,
t = -1-tfrac110ln(0,8)ln(0,7) =10,ln(0,7)ln(0,8)
Numericamente, ln(0,7)approx-0,3567 e ln(0,8)approx-0,2231, logo
tapprox10cdot-0,3567-0,2231approx15,98 minutos

Resposta

O tempo necessário para o corpo atingir 43^circC é
t = 10,ln(0,7)ln(0,8)approx15,98 min

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