Resolva os seguintes problemas:
Simplifique
Simplifique
Passo 1
O problema pede para simplificar a expressão
.
Informações dadas: a expressão envolve as funções trigonométricas seno e cosseno avaliadas em um mesmo ângulo . Importante: a simplificação só faz sentido quando o denominador não é zero, ou seja quando
.
Informações dadas: a expressão envolve as funções trigonométricas seno e cosseno avaliadas em um mesmo ângulo
Passo 2
Vamos lembrar uma definição muito utilizada: por definição, a função tangente é o quociente entre seno e cosseno do mesmo ângulo. Escrevemos isso assim:
Aqui
é o nome da função (tangente) e o símbolo
indica que estamos definindo a tangente como esse quociente.
Passo 3
Usando a definição acima, a simplificação é imediata: substituir o quociente por
. Assim
desde que a operação seja válida, isto é, desde que
.
Passo 4
Vamos explicar por que precisamos de
. Dividir por zero não é permitido; os valores de
em que
são
Nesses pontos a expressão original não está definida, então não faz sentido falar em
como valor numérico ali (a tangente tem assíntotas nesses pontos).
Passo 5
Para fixar a ideia, um exemplo numérico simples: tome
. Temos
e
. Portanto
e de fato
. Isso ilustra que a igualdade funciona quando
.
Passo 6
Resumo prático para a prova: sempre que você vir
pode substituir diretamente por
, lembrando de checar se
(ou seja,
).