Resolva os seguintes problemas:
Simplifique \frac{\sin x}{\cos x}

Passo 1

O problema pede para simplificar a expressão \frac{\sin x}{\cos x}.
Informações dadas: a expressão envolve as funções trigonométricas seno e cosseno avaliadas em um mesmo ângulo x. Importante: a simplificação só faz sentido quando o denominador não é zero, ou seja quando \cos x \neq 0.

Passo 2

Vamos lembrar uma definição muito utilizada: por definição, a função tangente é o quociente entre seno e cosseno do mesmo ângulo. Escrevemos isso assim:
\tan x \equiv \frac{\sin x}{\cos x}.
Aqui \tan x é o nome da função (tangente) e o símbolo \equiv indica que estamos definindo a tangente como esse quociente.

Passo 3

Usando a definição acima, a simplificação é imediata: substituir o quociente por \tan x. Assim
\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x,
desde que a operação seja válida, isto é, desde que \cos x \neq 0.

Passo 4

Vamos explicar por que precisamos de \cos x \neq 0. Dividir por zero não é permitido; os valores de x em que \cos x=0 são
x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Nesses pontos a expressão original não está definida, então não faz sentido falar em \tan x como valor numérico ali (a tangente tem assíntotas nesses pontos).

Passo 5

Para fixar a ideia, um exemplo numérico simples: tome x=\frac{\pi}{4}. Temos \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} e \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. Portanto
\frac{\sin\frac{\pi}{4}}{\cos\frac{\pi}{4}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1,
e de fato \tan\frac{\pi}{4}=1. Isso ilustra que a igualdade funciona quando \cos x\neq0.

Passo 6

Resumo prático para a prova: sempre que você vir \frac{\sin x}{\cos x} pode substituir diretamente por \tan x, lembrando de checar se \cos x\neq0 (ou seja, x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi).

Resposta

\tan x,\quad x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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