Fatore completamente os seguintes polinômios:
x^{2}-9

Passo 1

O enunciado pede para fatorar completamente o polinômio x^{2}-9.
Informações dadas: é um polinômio de grau 2 com coeficiente líder 1 e termo constante -9. A tarefa é escrever esse polinômio como um produto de fatores polinomiais de grau menor (preferencialmente lineares, se possível).

Passo 2

Vamos pensar nas formas comuns de fatoração para quadráticos: fator comum, trinômio quadrado perfeito, soma/diferença de quadrados, fatoração por completamento do quadrado, ou fórmula de Bhaskara seguida de fatoração.
Aqui procuramos o método mais direto e simples: observar se o polinômio é uma diferença de quadrados, porque x^{2}-9 tem a aparência (\text{algo})^{2} - (\text{algo})^{2}. Este é o caminho mais curto e menos trabalhoso para a prova — identificar padrões é uma baita economia de tempo.

Passo 3

A fórmula da diferença de quadrados é:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Explicando: a e b são quaisquer expressões; o lado direito representa a multiplicação de dois binômios. Vamos verificar por que essa fórmula é verdadeira expandindo o produto do lado direito:
(a-b)(a+b)=a\cdot a + a\cdot b - b\cdot a - b\cdot b = a^{2} + ab - ab - b^{2} = a^{2}-b^{2}.
Portanto a fórmula vale porque os termos mistos ab se cancelam.

Passo 4

Agora identificar a e b no nosso polinômio. Observe que 9 é um quadrado perfeito, pois 9=3^{2}. Assim podemos reescrever:
x^{2}-9 = x^{2}-3^{2}.
Logo escolhemos a=x e b=3.

Passo 5

Aplicando a fórmula da diferença de quadrados com a=x e b=3, obtemos:
x^{2}-3^{2}=(x-3)(x+3).

Passo 6

Confirmando: multiplicando de volta para checar,
(x-3)(x+3)=x^{2}+3x-3x-9=x^{2}-9,
os termos +3x e -3x se cancelam, voltando ao polinômio original. Assim a fatoração está correta e completa (os fatores são lineares com coeficiente inteiro).

Passo 7

Se precisar encontrar as raízes rapidamente na prova, basta resolver (x-3)(x+3)=0, que dá x=3 e x=-3. Isso também confirma que a fatoração está completa sobre os reais. Vai ficar tranquilo — identificar diferença de quadrados é um truque clássico que aparece sempre!

Resposta

(x-3)(x+3)

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