Fatore completamente os seguintes polinômios:
Passo 1
O enunciado pede para fatorar completamente o polinômio
.
Informações dadas: é um polinômio de grau com coeficiente líder
e termo constante
. A tarefa é escrever esse polinômio como um produto de fatores polinomiais de grau menor (preferencialmente lineares, se possível).
Informações dadas: é um polinômio de grau
Passo 2
Vamos pensar nas formas comuns de fatoração para quadráticos: fator comum, trinômio quadrado perfeito, soma/diferença de quadrados, fatoração por completamento do quadrado, ou fórmula de Bhaskara seguida de fatoração.
Aqui procuramos o método mais direto e simples: observar se o polinômio é uma diferença de quadrados, porque tem a aparência
. Este é o caminho mais curto e menos trabalhoso para a prova — identificar padrões é uma baita economia de tempo.
Aqui procuramos o método mais direto e simples: observar se o polinômio é uma diferença de quadrados, porque
Passo 3
A fórmula da diferença de quadrados é:
Explicando:
e
são quaisquer expressões; o lado direito representa a multiplicação de dois binômios. Vamos verificar por que essa fórmula é verdadeira expandindo o produto do lado direito:
Portanto a fórmula vale porque os termos mistos
se cancelam.
Passo 4
Agora identificar
e
no nosso polinômio. Observe que
é um quadrado perfeito, pois
. Assim podemos reescrever:
Logo escolhemos
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula da diferença de quadrados com
e
, obtemos:
Passo 6
Confirmando: multiplicando de volta para checar,
os termos
e
se cancelam, voltando ao polinômio original. Assim a fatoração está correta e completa (os fatores são lineares com coeficiente inteiro).
Passo 7
Se precisar encontrar as raízes rapidamente na prova, basta resolver
, que dá
e
. Isso também confirma que a fatoração está completa sobre os reais. Vai ficar tranquilo — identificar diferença de quadrados é um truque clássico que aparece sempre!