Resolva os seguintes problemas:
Determine
Determine
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar os valores de
,
e
.
Informações dadas: o ângulo é radianos (isso é a única informação numérica fornecida).
Informações dadas: o ângulo é
Passo 2
Primeiro convém converter o ângulo para graus para termos uma intuição mais clara:
Então estamos a procurar as razões trigonométricas do ângulo de
.
Passo 3
Vou construir um triângulo retângulo associado a
de forma geométrica e simples: pegue um triângulo equilátero com lado
. Num triângulo equilátero todos os ângulos valem
. Ao traçar a altura, o triângulo equilátero se divide em dois triângulos retângulos congruentes, cada um com ângulos
,
e
. Nesse triângulo retângulo obtido temos:
- hipotenusa =
(era o lado do equilátero), - uma cateto (metade da base) =
, - o outro cateto (a altura) obtém-se por Pitágoras:
Passo 4
Agora normalizamos para o triângulo no círculo unitário (hipotenusa
), dividindo todos os comprimentos por
. Assim, para o triângulo retângulo com o ângulo de
(ou
) obtemos:
- hipotenusa
, - cateto oposto a
, - cateto adjacente a
.
Explicando: fizemos isso porque nas definições usuais de seno e cosseno usamos um triângulo com hipotenusa
(ou equivalentemente o círculo trigonométrico de raio
).
Passo 5
Lembrando as definições (num triângulo retângulo):
Aplicando ao nosso triângulo para o ângulo
:
É comum racionalizar o denominador de
, multiplicando numerador e denominador por
, obtendo:
Passo 6
Verificação rápida (cheque útil na prova): usar a identidade pitagórica
:
logo os valores estão consistentes.