Resolva os seguintes problemas:
Determine \sin \left(\frac{\pi}{6}\right), \cos \left(\frac{\pi}{6}\right), \tan \left(\frac{\pi}{6}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar os valores de \sin\left(\frac{\pi}{6}\right), \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) e \tan\left(\frac{\pi}{6}\right).
Informações dadas: o ângulo é \frac{\pi}{6} radianos (isso é a única informação numérica fornecida).

Passo 2

Primeiro convém converter o ângulo para graus para termos uma intuição mais clara:
\frac{\pi}{6} = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ.
Então estamos a procurar as razões trigonométricas do ângulo de 30^\circ.

Passo 3

Vou construir um triângulo retângulo associado a 30^\circ de forma geométrica e simples: pegue um triângulo equilátero com lado 2. Num triângulo equilátero todos os ângulos valem 60^\circ. Ao traçar a altura, o triângulo equilátero se divide em dois triângulos retângulos congruentes, cada um com ângulos 30^\circ, 60^\circ e 90^\circ. Nesse triângulo retângulo obtido temos:
  • hipotenusa = 2 (era o lado do equilátero),
  • uma cateto (metade da base) = 1,
  • o outro cateto (a altura) obtém-se por Pitágoras:
\text{altura} = \sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}.

Passo 4

Agora normalizamos para o triângulo no círculo unitário (hipotenusa 1), dividindo todos os comprimentos por 2. Assim, para o triângulo retângulo com o ângulo de 30^\circ (ou \frac{\pi}{6}) obtemos:
  • hipotenusa =1,
  • cateto oposto a 30^\circ = \dfrac{1}{2},
  • cateto adjacente a 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Explicando: fizemos isso porque nas definições usuais de seno e cosseno usamos um triângulo com hipotenusa 1 (ou equivalentemente o círculo trigonométrico de raio 1).

Passo 5

Lembrando as definições (num triângulo retângulo):
\sin(\text{ângulo})=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}},\qquad \cos(\text{ângulo})=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}},\qquad \tan(\text{ângulo})=\frac{\sin(\text{ângulo})}{\cos(\text{ângulo})}=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.âââââ
Aplicando ao nosso triângulo para o ângulo \frac{\pi}{6}:
\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},
\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},
\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
É comum racionalizar o denominador de \tan, multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}, obtendo:
\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

Verificação rápida (cheque útil na prova): usar a identidade pitagórica \sin^2+\cos^2=1:
\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1,
logo os valores estão consistentes.

Resposta

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}
\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}

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