Resolva os seguintes problemas.
A temperatura em um ponto ( x, y ) de uma chapa de metal é dada por T(x, y)=3+6 x^{2}+9 y^{2}, onde T é medido em { }^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{x}, \mathrm{y} em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto (2,3) \mathrm{em}(\mathrm{a}) a direção de x e(b) a direção de y.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura na chapa por T(x,y)=3+6x^{2}+9y^{2}, medida em ^\circ\mathrm{C}, com x e y em metros. O ponto de interesse é (2,3).
As perguntas são:
(a) determinar a taxa de variação da temperatura em (2,3) na direção do eixo x;
(b) determinar a taxa de variação da temperatura em (2,3) na direção do eixo y.

Passo 2

O que significa "taxa de variação na direção do eixo x"? Aqui isso coincide com a derivada parcial de T em relação a x no ponto, geralmente denotada por \partial T/\partial x. A derivada parcial \partial T/\partial x mede quanto T muda quando variamos x um pouquinho, mantendo y fixo. Formalmente:
\frac{\partial T}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{T(x+h,y)-T(x,y)}{h}.
De modo análogo, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial T}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{T(x,y+h)-T(x,y)}{h},
e mede a taxa de variação quando variamos y mantendo x fixo. Na prática de prova você pode calcular as derivadas parciais usando as regras usuais de derivação (tratar a variável que não está sendo derivada como constante).

Passo 3

Calcular \partial T/\partial x. Tratamos y como constante e derivamos termo a termo:
T(x,y)=3+6x^{2}+9y^{2}.
A derivada de 3 é 0, a derivada de 6x^{2} em relação a x é 12x (pois \frac{d}{dx}x^{2}=2x e 6\cdot 2x=12x), e 9y^{2} é constante em x então sua derivada é 0. Logo
\frac{\partial T}{\partial x}(x,y)=12x.
Agora avaliamos no ponto (2,3):
\frac{\partial T}{\partial x}(2,3)=12\cdot 2=24.
Interpretação prática: se eu me deslocar um pequeno \Delta x positivo (mantendo y=3), a temperatura muda aproximadamente 24\cdot \Delta x ^\circ\mathrm{C}. A unidade é ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.

Passo 4

Calcular \partial T/\partial y. Agora tratamos x como constante:
T(x,y)=3+6x^{2}+9y^{2}.
A derivada de 9y^{2} em relação a y é 18y (pois \frac{d}{dy}y^{2}=2y e 9\cdot 2y=18y), e os outros termos são constantes em y. Assim
\frac{\partial T}{\partial y}(x,y)=18y.
Avaliando em (2,3):
\frac{\partial T}{\partial y}(2,3)=18\cdot 3=54.
Interpretação prática: se eu me deslocar um pequeno \Delta y positivo (mantendo x=2), a temperatura muda aproximadamente 54\cdot \Delta y ^\circ\mathrm{C}. Unidade ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.

Passo 5

Resumo intuitivo e ligação com vetor gradiente (rápido): o vetor \nabla T(x,y)=\big(\partial T/\partial x,\;\partial T/\partial y\big) aponta na direção de máxima subida da temperatura e tem magnitude igual à taxa de subida nessa direção. Aqui \nabla T(2,3)=(24,54). Se a pergunta pedisse a taxa numa direção qualquer unitária \mathbf{u}=(u_1,u_2), usaríamos a produto escalar \nabla T(2,3)\cdot \mathbf{u}. No caso das direções dos eixos x e y usamos \mathbf{i}=(1,0) e \mathbf{j}=(0,1), obtendo exatamente 24 e 54, respectivamente.

Resposta

(a) \displaystyle 24\\ \mathrm{^\circ C}/\mathrm{m}
(b) \displaystyle 54\\ \mathrm{^\circ C}/\mathrm{m}

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