Resolva os seguintes problemas.
A temperatura em um ponto (
) de uma chapa de metal é dada por
, onde T é medido em
e
em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto
a direção de
a direção de
.
A temperatura em um ponto (
Passo 1
O enunciado dá a temperatura na chapa por
, medida em
, com
e
em metros. O ponto de interesse é
.
As perguntas são:
(a) determinar a taxa de variação da temperatura em na direção do eixo
;
(b) determinar a taxa de variação da temperatura em na direção do eixo
.
As perguntas são:
(a) determinar a taxa de variação da temperatura em
(b) determinar a taxa de variação da temperatura em
Passo 2
O que significa "taxa de variação na direção do eixo
"? Aqui isso coincide com a derivada parcial de
em relação a
no ponto, geralmente denotada por
. A derivada parcial
mede quanto
muda quando variamos
um pouquinho, mantendo
fixo. Formalmente:
De modo análogo, a derivada parcial em relação a
é
e mede a taxa de variação quando variamos
mantendo
fixo. Na prática de prova você pode calcular as derivadas parciais usando as regras usuais de derivação (tratar a variável que não está sendo derivada como constante).
Passo 3
Calcular
. Tratamos
como constante e derivamos termo a termo:
A derivada de
é
, a derivada de
em relação a
é
(pois
e
), e
é constante em
então sua derivada é
. Logo
Agora avaliamos no ponto
:
Interpretação prática: se eu me deslocar um pequeno
positivo (mantendo
), a temperatura muda aproximadamente
. A unidade é
.
Passo 4
Calcular
. Agora tratamos
como constante:
A derivada de
em relação a
é
(pois
e
), e os outros termos são constantes em
. Assim
Avaliando em
:
Interpretação prática: se eu me deslocar um pequeno
positivo (mantendo
), a temperatura muda aproximadamente
. Unidade
.
Passo 5
Resumo intuitivo e ligação com vetor gradiente (rápido): o vetor
aponta na direção de máxima subida da temperatura e tem magnitude igual à taxa de subida nessa direção. Aqui
. Se a pergunta pedisse a taxa numa direção qualquer unitária
, usaríamos a produto escalar
. No caso das direções dos eixos
e
usamos
e
, obtendo exatamente
e
, respectivamente.
Resposta
(a)
(b)
(b)