Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a) y^prime prime+4 y=sin t U(t-2 pi), y(0)=1, y^prime(0)=0.
Resposta: y(t)=cos 2 t-16 sin 2(t-2 pi) U(t-2 pi)+13 sin (t-2 pi) U(t-2 pi).

Passo 1

Estamos resolvendo o PVI y'' + 4y = sin t,U(t-2pi) com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. O método mais direto aqui é usar transformada de Laplace.

Passo 2

Aplicamos L em ambos os lados. Lembrando que

e

Passo 3

Para o termo forçante usamos a propriedade de deslocamento: quando
f(t)=sin t
vem entersada, temos
a=2pi
Aqui t>=2pi e sin t = sin[(t-2pi)+2pi] = sin(t-2pi), mas observando que para
, então

Passo 4

Montando a equação em s:
s^2Y(s)-s + 4Y(s) = e^-2pi ss^2+1
Logo
Y(s)(s^2+4) = s + e^-2pi ss^2+1
e
Y(s) = ss^2+4 + e^-2pi s(s^2+4)(s^2+1)

Passo 5

A primeira parcela inverte diretamente para:
L^-1ltfracss^2+4r = cos 2t

Passo 6

Para a segunda parcela fazemos frações parciais:
1(s^2+1)(s^2+4) = As^2+1 + Bs^2+4
Resolvendo para A e B A=1/3 e B=-1/3, então
1(s^2+1)(s^2+4) = 131s^2+1 - 131s^2+4

Passo 7

Aplicamos agora a transformada inversa com deslocamento e^-2pi s:
L^-1e^-2pi stfrac1s^2+1 = sin(t-2pi),U(t-2pi),
L^-1e^-2pi stfrac1s^2+4 = tfrac12sinl(2(t-2pi)r),U(t-2pi)
Assim a segunda parcela vira
U(t-2pi)l(tfrac13sin(t-2pi) - tfrac13tfrac12sin2(t-2pi)r)

Passo 8

Juntando tudo obtemos a solução completa:

Resposta

y(t) = cos 2t - tfrac16sinl(2(t-2pi)r),U(t-2pi) + tfrac13sin(t-2pi),U(t-2pi)

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