Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede é encontrar a solução
que satisfaça essa equação e a condição inicial. As informações relevantes que temos:
- A equação diferencial escrita na forma
com e . - A condição inicial
.
Passo 2
Verificar se a equação é exata. Vou explicar o conceito: uma equação da forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Um teste prático é comparar
e
. Se forem iguais num domínio, a equação é exata.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais pedidas:
Como
, a equação é exata. Isso garante que existe
com as propriedades acima.
Passo 4
Encontrar a função potencial
. Começo integrando
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Agora imponho que
. Calculo:
Como isso deve ser igual a
, segue
. Portanto
é uma constante (denotada por
).
Passo 5
A solução implícita é dada por
constante, logo:
Usar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
,
:
Portanto a solução implícita com a constante ajustada é
Passo 6
Isolar
para obter solução explícita. Multiplicando por
para simplificar:
Isolando
:
Logo as soluções explícitas são
Agora escolhemos o sinal que satisfaz a condição inicial
. Calculando o valor em
:
A condição pede
, portanto escolhemos o sinal positivo:
Passo 7
Observações sobre domínio e unicidade (útil na prova): para que a raiz seja real é necessário
. Como estamos usando a solução que passa por
, o intervalo maximal ao redor de
em que a expressão é não negativa e
é
(porque para
é preciso
). Em particular, há existência e unicidade da solução em algum intervalo contendo
porque as funções envolvidas são contínuas e satisfazem as condições de existência e unicidade locais.