Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^{\prime} ;
\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+2 x y d y=0 ; \quad y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
(x^{2}+y^{2})\,dx + 2xy\,dy = 0, \qquad y(1)=1.
O que se pede é encontrar a solução y(x) que satisfaça essa equação e a condição inicial. As informações relevantes que temos:
  • A equação diferencial escrita na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=x^{2}+y^{2} e N(x,y)=2xy.
  • A condição inicial y(1)=1.

Passo 2

Verificar se a equação é exata. Vou explicar o conceito: uma equação da forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Um teste prático é comparar \frac{\partial M}{\partial y} e \frac{\partial N}{\partial x}. Se forem iguais num domínio, a equação é exata.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais pedidas:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=2y, a equação é exata. Isso garante que existe \Phi(x,y) com as propriedades acima.

Passo 4

Encontrar a função potencial \Phi(x,y). Começo integrando M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int (x^{2}+y^{2})\,dx=\frac{x^{3}}{3}+x y^{2}+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Agora imponho que \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y). Calculo:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=2xy + h'(y).
Como isso deve ser igual a N(x,y)=2xy, segue h'(y)=0. Portanto h(y) é uma constante (denotada por C).

Passo 5

A solução implícita é dada por \Phi(x,y)= constante, logo:
\frac{x^{3}}{3}+x y^{2}=C.
Usar a condição inicial y(1)=1 para determinar C. Substituindo x=1, y=1:
\frac{1^{3}}{3}+1\cdot 1^{2}=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}=C.
Portanto a solução implícita com a constante ajustada é
\frac{x^{3}}{3}+x y^{2}=\frac{4}{3}.

Passo 6

Isolar y para obter solução explícita. Multiplicando por 3 para simplificar:
x^{3}+3x y^{2}=4.
Isolando y^{2}:
3x y^{2}=4-x^{3}, \qquad y^{2}=\frac{4-x^{3}}{3x}.
Logo as soluções explícitas são
y(x)=\pm\sqrt{\frac{4-x^{3}}{3x}}.
Agora escolhemos o sinal que satisfaz a condição inicial y(1)=1. Calculando o valor em x=1:
y(1)=\pm\sqrt{\frac{4-1}{3\cdot 1}}=\pm\sqrt{\frac{3}{3}}=\pm 1.
A condição pede y(1)=1, portanto escolhemos o sinal positivo:
y(x)=\sqrt{\frac{4-x^{3}}{3x}}.

Passo 7

Observações sobre domínio e unicidade (útil na prova): para que a raiz seja real é necessário \dfrac{4-x^{3}}{3x}\ge 0. Como estamos usando a solução que passa por x=1>0, o intervalo maximal ao redor de x=1 em que a expressão é não negativa e x\neq 0 é 0<x<\sqrt[3]{4} (porque para x>0 é preciso 4-x^{3}\ge 0\Rightarrow x\le\sqrt[3]{4}). Em particular, há existência e unicidade da solução em algum intervalo contendo x=1 porque as funções envolvidas são contínuas e satisfazem as condições de existência e unicidade locais.

Resposta

y(x)=\sqrt{\dfrac{4-x^{3}}{3x}}

Exercícios relacionados