Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^{\prime} ;
y^{\prime}+2 x y=2 x^{3} ; \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial:
y'+2x y = 2x^{3},\qquad y(0)=1.
O que se pede é a solução particular y(x) que satisfaça essa condição inicial. Listei os dados importantes:
  • Equação diferencial: y'+2x y = 2x^{3}.
  • Condição inicial: y(0)=1.

Passo 2

Vamos reconhecer o tipo de equação e o método a usar. A equação está na forma linear de primeira ordem
y'+P(x)y=Q(x),
onde aqui P(x)=2x e Q(x)=2x^{3}. O método padrão é o fator integrante (integrating factor).
Explicando o conceito do fator integrante: se \mu(x) é tal que
\mu'(x)=\mu(x)P(x),
então multiplicando a equação original por \mu(x) a parte esquerda se torna a derivada de \mu(x)y, isto é
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)Q(x).
A vantagem é que então basta integrar ambos os lados para encontrar y.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). Pela definição,
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big)=\exp\!\Big(\int 2x\,dx\Big).
Calcule a integral:
\int 2x\,dx = x^{2} + C,
escolhemos a constante C=0 dentro do exponencial (porque multiplicar por uma constante não altera o método). Assim
\mu(x)=e^{x^{2}}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{x^{2}}:
e^{x^{2}}y' + 2x e^{x^{2}} y = 2x^{3} e^{x^{2}}.
Pelo motivo do fator integrante, a esquerda é a derivada do produto e^{x^{2}}y. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}}y\big)=2x^{3} e^{x^{2}}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^{x^{2}}y = \int 2x^{3} e^{x^{2}}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral \int 2x^{3} e^{x^{2}}\,dx. Fazer uma substituição para simplificar: seja u=x^{2}. Então du=2x\,dx. Note que
x^{3}dx = x^{2}\cdot x\,dx = u\cdot\frac{1}{2}du.
Portanto
\int 2x^{3} e^{x^{2}}\,dx = 2\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx = 2\int \left(u\cdot\frac{1}{2}\right)e^{u}\,du = \int u e^{u}\,du.

Passo 6

Calcular \int u e^{u}\,du por partes. Use a fórmula de integração por partes: \int U\,dV = U V - \int V\,dU. Escolha U=u e dV=e^{u}du. Então dU=du e V=e^{u}. Assim
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} + C = e^{u}(u-1)+C.
Voltando para x com u=x^{2}, obtemos
\int 2x^{3} e^{x^{2}}\,dx = e^{x^{2}}(x^{2}-1) + C.

Passo 7

Substituir o resultado da integral em
e^{x^{2}}y = e^{x^{2}}(x^{2}-1) + C.
Isolando y,
y(x) = x^{2}-1 + C e^{-x^{2}}.
Agora usar a condição inicial y(0)=1. Avaliando em x=0:
y(0)=0-1 + C e^{0} = -1 + C.
Impor y(0)=1
1 = -1 + C \quad\Rightarrow\quad C=2.

Passo 8

Substituir C=2 na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=x^{2}-1 + 2 e^{-x^{2}}.

Resposta

y(x)=x^{2}-1+2e^{-x^{2}}

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