Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial:
O que se pede é a solução particular
que satisfaça essa condição inicial. Listei os dados importantes:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
Passo 2
Vamos reconhecer o tipo de equação e o método a usar. A equação está na forma linear de primeira ordem
onde aqui
e
. O método padrão é o fator integrante (integrating factor).
Explicando o conceito do fator integrante: se
é tal que
então multiplicando a equação original por
a parte esquerda se torna a derivada de
, isto é
A vantagem é que então basta integrar ambos os lados para encontrar
.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Pela definição,
Calcule a integral:
escolhemos a constante
dentro do exponencial (porque multiplicar por uma constante não altera o método). Assim
Passo 4
Multiplicar a equação original por
:
Pelo motivo do fator integrante, a esquerda é a derivada do produto
. Ou seja,
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
. Fazer uma substituição para simplificar: seja
. Então
. Note que
Portanto
Passo 6
Calcular
por partes. Use a fórmula de integração por partes:
. Escolha
e
. Então
e
. Assim
Voltando para
com
, obtemos
Passo 7
Substituir o resultado da integral em
Isolando
,
Agora usar a condição inicial
. Avaliando em
:
Impor
dá
Passo 8
Substituir
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial: