Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^{\prime} ;
(\operatorname{sen} x) y^{\prime}+(\cos x) y=e^{x} ; \quad y(\pi / 2)=\frac{1}{2}

Passo 1

O problema nos dá a equação diferencial com condição inicial:
(\operatorname{sen} x)\,y^{\prime}+(\cos x)\,y=e^{x}, \qquad y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é explícita em y' e contém os fatores \operatorname{sen} x e \cos x.
  • A condição inicial é o valor de y em x=\dfrac{\pi}{2}.
  • Deve-se ter cuidado com pontos onde \operatorname{sen} x=0, pois a solução pode não estar definida nesses pontos.

Passo 2

Vamos olhar a parte esquerda da equação e usar a regra do produto (lembrando como ela funciona): para duas funções u(x) e v(x),
(uv)' = u'v + uv'.
Escolhendo u(x)=\operatorname{sen} x e v(x)=y(x), temos
(\operatorname{sen} x \cdot y)' = (\operatorname{sen} x)'\,y + \operatorname{sen} x \,y' = \cos x\,y + \operatorname{sen} x\,y'.
Portanto a parte esquerda da ODE é exatamente a derivada de \operatorname{sen} x\cdot y. Assim podemos reescrever a equação como
(\operatorname{sen} x \, y)' = e^{x}.
Isso simplifica muito a resolução: reduzimos a ODE a uma igualdade entre uma derivada e e^x.

Passo 3

Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos
\operatorname{sen} x \, y = \int e^{x}\,dx = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui apareceu C porque integrar uma derivada dá a função original mais uma constante arbitrária.

Passo 4

Isolando y da expressão anterior, obtemos a solução geral (válida onde \operatorname{sen} x\neq 0):
y(x)=\frac{e^{x}+C}{\operatorname{sen} x}.
Observação importante sobre domínio: a solução só está bem definida quando \operatorname{sen} x\neq 0. Como a condição inicial está em x=\dfrac{\pi}{2} (onde \operatorname{sen}(\pi/2)=1), podemos trabalhar em um intervalo que contenha \dfrac{\pi}{2} e onde \operatorname{sen} x mantém sinal (por exemplo (0,\pi)) — aí não há problema com o denominador.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{1}{2}. Substituindo na solução geral:
\frac{1}{2}=y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{e^{\pi/2}+C}{\operatorname{sen}(\pi/2)}.
Como \operatorname{sen}(\pi/2)=1, isso dá
\frac{1}{2}=e^{\pi/2}+C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{2}-e^{\pi/2}.

Passo 6

Substituindo C na solução geral, a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{e^{x}+\tfrac{1}{2}-e^{\pi/2}}{\operatorname{sen} x}.
Podemos reescrever de formas equivalentes, por exemplo
y(x)=\frac{e^{x}-e^{\pi/2}}{\operatorname{sen} x}+\frac{1}{2}\csc x.

Passo 7

Verificação rápida (para dar confiança): usando que \operatorname{sen} x\,y=e^{x}+C, derivando ambos os lados obtém-se (\operatorname{sen} x\,y)'=e^{x}, que é exatamente a equação original. A condição inicial foi satisfeita por construção. Lembre-se: a solução está definida em intervalos onde \operatorname{sen} x\neq 0; a solução encontrada é válida no intervalo que contém x=\dfrac{\pi}{2}, por exemplo (0,\pi).

Resposta

y(x)=\frac{e^{x}+\tfrac{1}{2}-e^{\pi/2}}{\operatorname{sen} x}

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