Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Equação diferencial dada:
- Condições iniciais:
- O enunciado pede resolver o problema de valor inicial. Nos foi instruído usar a substituição
.
Observações importantes (apenas organização das informações, sem resolver ainda):
- As incógnitas são a função
e sua derivada . - Temos uma equação de segunda ordem não linear. A substituição pedida é
, que transforma em algo envolvendo (vamos usar a regra da cadeia). - Tenho todas as informações necessárias para tentar resolver; se algo ficar inválido (por exemplo divisão por zero) vou explicitar.
Passo 2
Explicando a substituição
e a regra da cadeia para
.
- Definimos
. Queremos escrever em termos de e . Usando a regra da cadeia, se é visto como função de (i.e. consideramos ) então
- Aqui a ideia é:
e , logo . Esta manipulação é válida enquanto conseguirmos tratar como função de (própria estratégia para equações que não dependem explicitamente de ).
Passo 3
Substituir na equação original para obter uma equação entre
e
.
- Substituindo
e na equação original:
- Reescrevendo:
Esta é uma equação em
e
. A seguir vamos analisar e resolver essa equação, lembrando das condições iniciais.
Passo 4
Verificar compatibilidade imediata das condições iniciais com a equação diferencial.
- Avaliando a equação original no ponto
usando e :
- Portanto no ponto
a equação exigiria , o que é uma contradição. - Conclusão imediata: não existe função
suficientemente suave ( ) que satisfaça simultaneamente a equação diferencial e as condições iniciais . As condições iniciais são incompatíveis com a equação no ponto .
Vou, porém, completar a resolução da equação geral (válida onde for legítimo dividir por
), para entender a família de soluções e ver por que nenhuma passa por
com derivada
.
Passo 5
Resolver a equação reduzida para a região onde
(porque se
não podemos dividir por
).
- A equação obtida foi
- Rearranjando para separar variáveis (válido quando
e tratando função de ):
- Integrando ambos os lados:
- As integrais são padrões:
- Igualando (absorvendo constantes numa única constante
):
ou
onde
é uma constante não nula (pode ser positiva; trataremos o sinal conforme necessário). Observação: nesta derivação foi preciso dividir por
, logo a relação só é válida nas regiões onde
.
Passo 6
Explorar a relação
e voltar para
.
- Lembrando que
, a relação é
- Diferenciando ambos os lados em relação a
(supondo inicialmente para poder simplificar):
- Se
podemos cancelar e obter
ou seja
que é uma constante. Integrando:
onde
é constante de integração e reorganizei constantes completando quadrado (pode-se escrever mais simplesmente em termos de duas constantes arbitrárias). Uma forma mais direta, obtida pelo método de separação para voltar de
a
, é:
onde
e
são constantes arbitrárias (com
para evitar divisão por zero). Esta família é verificada facilmente: derivando dá
e
; substituindo na equação original:
portanto a família está correta.
Passo 7
Testar se alguma solução da família encontrada satisfaz as condições iniciais; concluir definitivamente sobre existência.
- Para
temos
- As condições iniciais exigem
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
logo
. Mas
não é permitido na forma de solução (dividimos por
ao longo do processo). Assim não há escolha de constantes
que satisfaça simultaneamente as duas condições iniciais. Isso confirma a contradição que vimos ao avaliar a equação no ponto
.
Passo 8
Conclusão e comentário final didático e encorajador.
- As condições iniciais são incompatíveis com a equação no ponto
: a equação exige se tentarmos forçar . Portanto não existe solução (classe ) que satisfaça a equação e essas condições iniciais. - A família geral de soluções (em regiões onde
) é
com
e
constantes. Essas curvas não passam pelo ponto
com derivada
, conforme mostrado acima.
- Não desanime: reconhecer incompatibilidade de condições iniciais é um resultado legítimo e importante em provas — às vezes a melhor resposta é afirmar que o problema não tem solução por inconsistência das condições.
Resposta
Não existe solução
que satisfaça simultaneamente
e as condições iniciais
.