Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^{\prime} ;
\frac{y d x-x d y}{x^{2}+y^{2}}=0 ; \quad y(2)=2

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial. Dados:
  • Equação diferencial:
\frac{y\,dx - x\,dy}{x^{2}+y^{2}}=0.
  • Condição inicial: \;y(2)=2.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Observação dos dados importantes:
  • A expressão tem denominar \;x^{2}+y^{2}; esse denominador é zero somente em (x,y)=(0,0). A equação está bem definida para pontos onde x^{2}+y^{2}\neq0. A condição inicial x=2 está fora desse ponto singular.

Passo 2

Transformando a equação para uma forma mais familiar. Podemos multiplicar ambos os lados por \;x^{2}+y^{2} (que não é zero no ponto de interesse) para eliminar o denominador:
y\,dx - x\,dy = 0.
Agora interpreto dx e dy no sentido de diferenciais e divido por dx (assumindo dx\neq0) para obter a forma com derivada:
y - x\,\frac{dy}{dx}=0.
Reorganizando,
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}.
Aqui x é a variável independente e y=y(x) é a função desconhecida; \dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x.

Passo 3

Identificando o tipo da equação e estratégia. A equação
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}
é uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser resolvida por separação de variáveis: todas as expressões com y ficam num lado e as com x no outro. A separação facilita integrar cada lado em função de sua variável.

Passo 4

Separando as variáveis e integrando. Coloco os termos envolvendo y de um lado e os envolvendo x do outro:
\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}.
Agora integro ambos os lados. Ao integrar, vou obter logaritmos naturais (explico: \int \dfrac{du}{u} = \ln|u| + C):
\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln|y|=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Resolver a equação dos logaritmos para y. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo (explicação: se \ln|y|=\ln|x|+C então |y|=e^{C}|x|, e e^{C} é uma constante positiva que chamaremos de K):
|y|=e^{C}\,|x| \quad\Rightarrow\quad y=Kx,
onde K é uma constante real (ao permitir o sinal, escrevemos simplesmente y=Cx com C\in\mathbb{R}). Em outras palavras, as soluções gerais são as retas pela origem y=Cx.

Passo 6

Aplicando a condição inicial para determinar a constante. A condição é \;y(2)=2. Substituo na forma y=Cx:
2 = C\cdot 2 \quad\Rightarrow\quad C=1.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y=x.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom na prova). Substituo y=x na equação original. Se y=x então dy/dx=1. Verificando a forma \;y - x\frac{dy}{dx}=0:
x - x\cdot 1 = 0,
que é verdadeira. Logo y=x realmente satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Resposta

y=x

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