Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial. Dados:
- Equação diferencial:
- Condição inicial:
.
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Observação dos dados importantes:
- A expressão tem denominar
; esse denominador é zero somente em . A equação está bem definida para pontos onde . A condição inicial está fora desse ponto singular.
Passo 2
Transformando a equação para uma forma mais familiar. Podemos multiplicar ambos os lados por
(que não é zero no ponto de interesse) para eliminar o denominador:
Agora interpreto
e
no sentido de diferenciais e divido por
(assumindo
) para obter a forma com derivada:
Reorganizando,
Aqui
é a variável independente e
é a função desconhecida;
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Identificando o tipo da equação e estratégia. A equação
é uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser resolvida por separação de variáveis: todas as expressões com
ficam num lado e as com
no outro. A separação facilita integrar cada lado em função de sua variável.
Passo 4
Separando as variáveis e integrando. Coloco os termos envolvendo
de um lado e os envolvendo
do outro:
Agora integro ambos os lados. Ao integrar, vou obter logaritmos naturais (explico:
):
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Resolver a equação dos logaritmos para
. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo (explicação: se
então
, e
é uma constante positiva que chamaremos de
):
onde
é uma constante real (ao permitir o sinal, escrevemos simplesmente
com
). Em outras palavras, as soluções gerais são as retas pela origem
.
Passo 6
Aplicando a condição inicial para determinar a constante. A condição é
. Substituo na forma
:
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom na prova). Substituo
na equação original. Se
então
. Verificando a forma
:
que é verdadeira. Logo
realmente satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.