Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
A tarefa é encontrar a função
que satisfaz essa equação e as condições iniciais.
Passo 2
O enunciado recomenda usar a substituição
. Isso reduz a equação de segunda ordem para uma de primeira ordem. Explico por quê e como fazer:
- Se definimos
, então . - Substituindo na equação original obtemos uma equação para
:
Agora resolvemos essa equação linear de primeira ordem para
.
Passo 3
Vou resolver a equação linear
Lembra da técnica do fator integrante para equações da forma
: o fator integrante é
. Aqui
, logo
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Portanto
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Assim
Passo 4
Agora use a condição inicial para
. Como
e foi dado
, temos
. Substituindo
em
dá
Logo
Portanto
Passo 5
Agora integro
para obter
. Integro termo a termo:
onde
é outra constante de integração. Uso a condição inicial
:
Logo
. Assim a solução é
Passo 6
Faço uma checagem rápida para garantir que tudo está consistente:
- Derivando
: (concorda com encontrado). - Segunda derivada:
. - Substituindo na equação original:
OK.
- Condições iniciais:
e , ambas satisfeitas.