Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^{\prime} ;
y^{\prime \prime}+y^{\prime}=2 ; \quad y(0)=1 ; \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
y''+y'=2,\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=1.
A tarefa é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação e as condições iniciais.

Passo 2

O enunciado recomenda usar a substituição z=y'. Isso reduz a equação de segunda ordem para uma de primeira ordem. Explico por quê e como fazer:
  • Se definimos \,z(x)=y'(x)\,, então \,z'(x)=y''(x).
  • Substituindo na equação original obtemos uma equação para z:
z'+z=2.
Agora resolvemos essa equação linear de primeira ordem para z(x).

Passo 3

Vou resolver a equação linear
z'+z=2.
Lembra da técnica do fator integrante para equações da forma \,w'(x)+P(x)w(x)=Q(x)\,: o fator integrante é \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}. Aqui P(x)=1, logo
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
e^{x}z' + e^{x}z = 2e^{x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto z e^{x}, pois
\frac{d}{dx}\big(z e^{x}\big) = e^{x}z' + e^{x}z.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(z e^{x}\big)=2e^{x}.
Integro ambos os lados em relação a x:
z e^{x} = \int 2e^{x}\,dx = 2e^{x} + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Assim
z(x)=2 + C_{1}e^{-x}.

Passo 4

Agora use a condição inicial para z. Como z=y' e foi dado y'(0)=1, temos z(0)=1. Substituindo x=0 em \,z(x)=2+C_{1}e^{-x}\,
1 = 2 + C_{1}e^{0} = 2 + C_{1}.
Logo
C_{1}= -1.
Portanto
z(x)=y'(x)=2 - e^{-x}.

Passo 5

Agora integro y'(x) para obter y(x). Integro termo a termo:
y(x)=\int y'(x)\,dx = \int \big(2 - e^{-x}\big)\,dx = 2x + e^{-x} + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Uso a condição inicial y(0)=1:
1 = y(0) = 2\cdot 0 + e^{0} + C_{2} = 1 + C_{2}.
Logo C_{2}=0. Assim a solução é
y(x)=2x + e^{-x}.

Passo 6

Faço uma checagem rápida para garantir que tudo está consistente:
  • Derivando y: y'(x)=2 - e^{-x} (concorda com z encontrado).
  • Segunda derivada: y''(x)=e^{-x}.
  • Substituindo na equação original:
y''+y' = e^{-x} + (2 - e^{-x}) = 2,
OK.
  • Condições iniciais: y(0)=2\cdot 0 + e^{0}=1 e y'(0)=2 - e^{0}=1, ambas satisfeitas.

Resposta

y(x)=2x+e^{-x}

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