Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para
em um domínio que contenha
e que também satisfaça
.
Informações relevantes do enunciado:
- A equação é dada em termos de
e . - Há uma condição inicial em
. - Note que a equação envolve divisão por
se colocarmos na forma padrão; isso é permitido porque a condição inicial está em (logo trabalharemos em um intervalo onde , por exemplo ).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo tudo por
(válido para
) obtemos:
Aqui a equação está na forma
com
Explicação da ideia: para equações lineares de primeira ordem escrevemos sempre nessa forma porque existe um procedimento direto (fator integrante) que transforma a equação numa derivada exata.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. O fator integrante é
Calcule a integral:
Logo
Como estamos interessados em um intervalo contendo
(ou seja
), podemos tomar
. Comentário didático: o fator integrante é escolhido assim porque ao multiplicar a equação por
a esquerda se torna a derivada do produto
.
Passo 4
Multiplicar a equação pela fator integrante
. Multiplicando a forma padrão obtemos:
Agora reconhecer que o membro esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Verificação:
portanto a equação rewriten é
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Integramos a igualdade
para obter:
onde
é constante de integração. Explicação: integrar a derivada recupera o produto
mais uma constante.
Passo 6
Isolar
. Dividindo por
(novamente
):
Assim a solução geral da equação diferencial (no domínio
) é
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
em
:
Logo
Passo 8
Substituir
na solução geral e simplificar. Com
temos:
Também pode ser escrita como
Observação final: a solução é válida para
(domínio escolhido que contém
). Se fosse necessário um domínio com
repetir a escolha de sinal do fator integrante, mas a expressão final seria a mesma funcionalmente para
.
Passo 9
Verificação rápida (opcional, mas didático): calcular
e checar a equação original. A derivada de
é
Agora calcule
:
confirmando que a solução satisfaz a equação. E
, satisfazendo a condição inicial.