Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^{\prime} ;
x y^{\prime}+2 y=x^{2} ; \quad y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
x\,y^{\prime}+2y=x^{2},\qquad y(1)=0.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para x em um domínio que contenha x=1 e que também satisfaça y(1)=0.
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação é dada em termos de x e y.
  • Há uma condição inicial em x=1.
  • Note que a equação envolve divisão por x se colocarmos na forma padrão; isso é permitido porque a condição inicial está em x=1 (logo trabalharemos em um intervalo onde x\neq0, por exemplo x>0).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo tudo por x (válido para x\neq0) obtemos:
y^{\prime}+\frac{2}{x}y=x.
Aqui a equação está na forma y^{\prime}+p(x)y=q(x) com
p(x)=\frac{2}{x},\qquad q(x)=x.
Explicação da ideia: para equações lineares de primeira ordem escrevemos sempre nessa forma porque existe um procedimento direto (fator integrante) que transforma a equação numa derivada exata.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right).
Calcule a integral:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x| = \ln|x|^{2}.
Logo
\mu(x)=\exp(\ln|x|^{2})=|x|^{2}.
Como estamos interessados em um intervalo contendo x=1 (ou seja x>0), podemos tomar \mu(x)=x^{2}. Comentário didático: o fator integrante é escolhido assim porque ao multiplicar a equação por \mu a esquerda se torna a derivada do produto \mu y.

Passo 4

Multiplicar a equação pela fator integrante \mu(x)=x^{2}. Multiplicando a forma padrão obtemos:
x^{2}y^{\prime}+2x y = x^{3}.
Agora reconhecer que o membro esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{2}y. Verificação:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x^{2}y^{\prime}+2x y,
portanto a equação rewriten é
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x^{3}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Integramos a igualdade
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x^{3}
para obter:
x^{2}y=\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}+C,
onde C é constante de integração. Explicação: integrar a derivada recupera o produto x^{2}y mais uma constante.

Passo 6

Isolar y. Dividindo por x^{2} (novamente x\neq0):
y=\frac{x^{4}}{4x^{2}}+\frac{C}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{4}+C x^{-2}.
Assim a solução geral da equação diferencial (no domínio x\neq0) é
y(x)=\frac{x^{2}}{4}+C x^{-2}.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(1)=0 para determinar C. Substituindo x=1 em y(x):
0 = y(1)=\frac{1^{2}}{4}+C\cdot 1^{-2}=\frac{1}{4}+C.
Logo
C=-\frac{1}{4}.

Passo 8

Substituir C na solução geral e simplificar. Com C=-\tfrac{1}{4} temos:
y(x)=\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{4}x^{-2}=\frac{1}{4}\Big(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\Big).
Também pode ser escrita como
y(x)=\frac{x^{4}-1}{4x^{2}}.
Observação final: a solução é válida para x>0 (domínio escolhido que contém x=1). Se fosse necessário um domínio com x<0 repetir a escolha de sinal do fator integrante, mas a expressão final seria a mesma funcionalmente para x\neq0.

Passo 9

Verificação rápida (opcional, mas didático): calcular y^{\prime} e checar a equação original. A derivada de
y(x)=\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{4}x^{-2}
é
y^{\prime}(x)=\frac{2x}{4}-\frac{1}{4}(-2)x^{-3}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}x^{-3}.
Agora calcule x y^{\prime}+2y:
x y^{\prime}+2y = x\Big(\frac{x}{2}+\frac{1}{2}x^{-3}\Big)+2\Big(\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{4}x^{-2}\Big) = \frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}x^{-2}+\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}x^{-2}=x^{2},
confirmando que a solução satisfaz a equação. E y(1)=\tfrac{1}{4}(1-1)=0, satisfazendo a condição inicial.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{1}{4}\Big(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\Big)

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