Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para todo
(ou num intervalo) e que verifica a condição inicial
.
Passo 2
Vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Comparando com
, obtemos
Isto significa que podemos usar o método do fator integrante (integrating factor) para resolver a equação. Vou explicar o que é e por que funciona.
Breve aula sobre fator integrante:
- Para uma equação
, define-se o fator integrante
- Multiplicando a equação por
, a parte esquerda se torna a derivada do produto :
- Assim a equação vira
, que se integra diretamente.
Passo 3
Calcular o fator integrante para o nosso
:
Expliquei acima por que escolhemos
dessa forma.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Reconhecemos a esquerda como derivada do produto:
Isto é exatamente a ideia do fator integrante funcionando.
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração. Agora isolamos
:
Isso é a solução geral da equação diferencial.
Observação (método rápido alternativo): como o termo do lado direito é constante, também dá para tentar uma solução particular constante
. Substituindo em
obtém-se
. A solução geral então é
com
, dando de novo
.
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
obtemos:
Portanto
Passo 7
Substituindo
na solução geral, a solução particular que satisfaz a condição inicial é