Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
y^{\prime}+4 y=0, \quad y(0)=2,8

Passo 1

O enunciado dá o problema inicial
y'(t)+4y(t)=0,\qquad y(0)=2,8.
Pergunta-se encontrar a solução y(t) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial. As informações relevantes são: a equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente constante 4 e a condição inicial y(0)=2,8. A resolução deverá usar a transformada de Laplace (conforme pedido).

Passo 2

Vou lembrar e demonstrar as fórmulas da transformada de Laplace que vou usar, explicando o que cada símbolo significa.
Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) definida para t\ge 0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, tratamos s como uma variável real maior que certas constantes para garantir convergência). A transformada converte uma função de tempo f(t) numa função de s, escrita F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.
Propriedade essencial para derivada (vamos derivar isso para ficar claro):
Se y(t) é suficientemente suave, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s) e y(0) é o valor inicial. Derivação rápida dessa fórmula (integração por partes):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=\int_0^\infty e^{-st}y'(t)\,dt
fazer integração por partes com u=e^{-st} e dv=y'(t)\,dt
\int_0^\infty e^{-st}y'(t)\,dt=\big[ e^{-st}y(t)\big]_0^\infty + s\int_0^\infty e^{-st}y(t)\,dt.
Sob hipóteses de crescimento que garantem \lim_{t\to\infty}e^{-st}y(t)=0 para s grande o suficiente, o primeiro termo é -y(0). O segundo termo é sY(s). Logo obtemos
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
Outras transformadas que usarei:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a}\quad(\text{para } \operatorname{Re}(s)>a).
A transformada inversa é indicada por \mathcal{L}^{-1}\{\cdot\} e satisfaz \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os membros da equação diferencial:
\mathcal{L}\{y'(t)\} + 4\mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{0\}.
Usando as propriedades do passo anterior, com Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e y(0)=2,8, obtém-se
\big(sY(s)-y(0)\big)+4Y(s)=0.

Passo 4

Substituir y(0)=2,8 e resolver a equação algébrica para Y(s):
sY(s)-2,8+4Y(s)=0.
Agrupando Y(s),
(s+4)Y(s)=2,8.
Portanto
Y(s)=\frac{2,8}{s+4}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa para voltar ao domínio do tempo. Reconhecemos que
\frac{1}{s+4}=\frac{1}{s-(-4)}
é a transformada de e^{-4t}. Usando linearidade da transformada inversa,
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2,8}{s+4}\right\}(t)=2,8\,\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+4}\right\}(t)=2,8\,e^{-4t}.

Passo 6

Verificação rápida (checar que satisfaz ODE e condição inicial):
Calcule y'(t):
y'(t)=2,8\cdot(-4)e^{-4t}=-11,2\,e^{-4t}.
Somando y'(t)+4y(t):
-11,2\,e^{-4t}+4\cdot(2,8\,e^{-4t})=-11,2\,e^{-4t}+11,2\,e^{-4t}=0,
logo a equação é satisfeita. E y(0)=2,8\,e^{0}=2,8, a condição inicial também é satisfeita.

Resposta

y(t)=2,8\,e^{-4t}

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