Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
Passo 1
O enunciado dá o problema inicial
Pergunta-se encontrar a solução
que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial. As informações relevantes são: a equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente constante
e a condição inicial
. A resolução deverá usar a transformada de Laplace (conforme pedido).
Passo 2
Vou lembrar e demonstrar as fórmulas da transformada de Laplace que vou usar, explicando o que cada símbolo significa.
Definição da transformada de Laplace: para uma função
definida para
,
onde
é uma variável complexa (na prática, tratamos
como uma variável real maior que certas constantes para garantir convergência). A transformada converte uma função de tempo
numa função de
, escrita
.
Propriedade essencial para derivada (vamos derivar isso para ficar claro):
Se é suficientemente suave, então
Se
onde
e
é o valor inicial. Derivação rápida dessa fórmula (integração por partes):
fazer integração por partes com
e
dá
Sob hipóteses de crescimento que garantem
para
grande o suficiente, o primeiro termo é
. O segundo termo é
. Logo obtemos
Outras transformadas que usarei:
A transformada inversa é indicada por
e satisfaz
.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os membros da equação diferencial:
Usando as propriedades do passo anterior, com
e
, obtém-se
Passo 4
Substituir
e resolver a equação algébrica para
:
Agrupando
,
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa para voltar ao domínio do tempo. Reconhecemos que
é a transformada de
. Usando linearidade da transformada inversa,
Passo 6
Verificação rápida (checar que satisfaz ODE e condição inicial):
Calcule :
Calcule
Somando
:
logo a equação é satisfeita. E
, a condição inicial também é satisfeita.