Sabendo que
é uma solução para a EDO
determine a solução geral.
[Dica: Você pode fazer uma substituição do tipo
. Assim, transformará a EDO de
ordem em uma EDO de
ordem, que você pode resolver usando o método de fator de integração, por exemplo. Depois, lembre-se de substituir novamente na equação (I).]
[Dica: Você pode fazer uma substituição do tipo
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e informa que
é uma solução particular. A pergunta é: determinar a solução geral da equação diferencial (ou seja, encontrar todas as soluções gerais, com as constantes arbitrárias). Informação importante a notar: a equação tem coeficiente
multiplicando
, portanto devemos considerar o domínio onde
(pois em
a equação degenera). Não se resolve nada aqui, apenas organizei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Estratégia: usar a solução conhecida
para reduzir a ordem da EDO. A técnica é procurar uma segunda solução da forma
onde
é uma função a determinar. A ideia é que, sabendo uma solução, buscamos outra multiplicada por uma função
e assim obtemos uma equação de ordem menor para
.
Passo 3
Calculemos as derivadas de
em termos de
. Usamos a regra do produto:
Expliquei:
é a derivada de
em relação a
e
a segunda derivada; apliquei derivada do produto duas vezes com cuidado.
Passo 4
Substituímos
e
na equação original. Temos
Agora simplificamos termo a termo:
Fatorando
(e lembrando que
no domínio que consideramos):
Como
para
, a equação reduz-se a
Passo 5
Reduzimos a ordem: a equação para
é de segunda ordem, mas depende apenas de
e
sem termos de
isolado — podemos definir
para transformá-la em uma EDO de primeira ordem. Substituindo
e
obtemos
Reescrevendo em forma padrão:
Passo 6
Resolvemos a EDO linear de primeira ordem para
usando fator integrante. A forma é
com
. O fator integrante é
Para simplicidade (e considerando
) podemos usar
. Multiplicando a equação por
temos
Integrando em
dá
onde
é constante arbitrária, portanto
Passo 7
Integramos para obter
. Temos
Calculando a integral:
Logo
Podemos renomear constantes para simplificar: deixe
e
; então
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 8
Voltamos à expressão
. Substituindo
obtemos
Renomeando as constantes arbitrárias simplesmente como
, a solução geral fica
com
constantes reais e válido para
. Observação rápida: isso contém a solução dada
(escolhendo
) e fornece a segunda solução independente
.