Sabendo que y_{1}=x^{3} é uma solução para a EDO
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-6 y=0
determine a solução geral.
[Dica: Você pode fazer uma substituição do tipo \frac{d y}{d x}=w(I). Assim, transformará a EDO de 2^{\mathrm{a}} ordem em uma EDO de 1^{\mathrm{a}} ordem, que você pode resolver usando o método de fator de integração, por exemplo. Depois, lembre-se de substituir novamente na equação (I).]

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-6y=0
e informa que \,y_{1}=x^{3}\, é uma solução particular. A pergunta é: determinar a solução geral da equação diferencial (ou seja, encontrar todas as soluções gerais, com as constantes arbitrárias). Informação importante a notar: a equação tem coeficiente x^{2} multiplicando y'', portanto devemos considerar o domínio onde x\neq 0 (pois em x=0 a equação degenera). Não se resolve nada aqui, apenas organizei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Estratégia: usar a solução conhecida \,y_{1}=x^{3}\, para reduzir a ordem da EDO. A técnica é procurar uma segunda solução da forma
y=u(x)\,x^{3},
onde u(x) é uma função a determinar. A ideia é que, sabendo uma solução, buscamos outra multiplicada por uma função u e assim obtemos uma equação de ordem menor para u.

Passo 3

Calculemos as derivadas de y em termos de u. Usamos a regra do produto:
y=u(x)x^{3},
y' = u'(x)x^{3} + 3u(x)x^{2},
y'' = u''(x)x^{3} + 6u'(x)x^{2} + 6u(x)x.
Expliquei: u'(x) é a derivada de u em relação a x e u''(x) a segunda derivada; apliquei derivada do produto duas vezes com cuidado.

Passo 4

Substituímos y e y'' na equação original. Temos
x^{2}y''-6y = x^{2}\bigl(u''x^{3}+6u'x^{2}+6ux\bigr)-6(ux^{3}).
Agora simplificamos termo a termo:
x^{2}y''-6y = u''x^{5} + 6u'x^{4} + 6ux^{3} -6ux^{3} = u''x^{5} + 6u'x^{4}.
Fatorando x^{4} (e lembrando que x\neq0 no domínio que consideramos):
x^{2}y''-6y = x^{4}\bigl(u''x + 6u'\bigr)=0.
Como x^{4}\neq 0 para x\neq0, a equação reduz-se a
u''x + 6u' = 0.

Passo 5

Reduzimos a ordem: a equação para u é de segunda ordem, mas depende apenas de u' e u'' sem termos de u isolado — podemos definir v(x)=u'(x) para transformá-la em uma EDO de primeira ordem. Substituindo u''=v' e u'=v obtemos
x v' + 6 v = 0.
Reescrevendo em forma padrão:
v' + \frac{6}{x}v = 0.

Passo 6

Resolvemos a EDO linear de primeira ordem para v usando fator integrante. A forma é v' + p(x)v = 0 com p(x)=\dfrac{6}{x}. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int \frac{6}{x}\,dx\right)=\exp\!\bigl(6\ln|x|\bigr)=|x|^{6}.
Para simplicidade (e considerando x\neq0) podemos usar x^{6}. Multiplicando a equação por \mu(x) temos
(x^{6}v)'=0.
Integrando em x
x^{6}v = C_{1},
onde C_{1} é constante arbitrária, portanto
v = u' = C_{1}x^{-6}.

Passo 7

Integramos para obter u. Temos
u'(x)=C_{1}x^{-6}\quad\Rightarrow\quad u(x)=C_{1}\int x^{-6}dx + C_{2}.
Calculando a integral:
\int x^{-6}dx = \int x^{-6}dx = \frac{x^{-5}}{-5} = -\frac{1}{5}x^{-5}.
Logo
u(x)= -\frac{C_{1}}{5}x^{-5} + C_{2}.
Podemos renomear constantes para simplificar: deixe A=-\dfrac{C_{1}}{5} e B=C_{2}; então
u(x)=A x^{-5} + B,
onde A,B são constantes arbitrárias.

Passo 8

Voltamos à expressão y=u(x)x^{3}. Substituindo u obtemos
y = \bigl(A x^{-5} + B\bigr)x^{3} = A x^{-2} + B x^{3}.
Renomeando as constantes arbitrárias simplesmente como C_{1},C_{2}, a solução geral fica
y = C_{1} x^{-2} + C_{2} x^{3},
com C_{1},C_{2} constantes reais e válido para x\neq 0. Observação rápida: isso contém a solução dada y_{1}=x^{3} (escolhendo C_{2}=1, C_{1}=0) e fornece a segunda solução independente x^{-2}.

Resposta

y=C_{1}x^{-2}+C_{2}x^{3}

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