Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO a seguir aplicando o método de variação de parâmetros.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=e^{2x}
e pede três coisas: classificar a EDO, verificar (ou checar) que a solução obtida está correta e encontrar a solução geral usando o método de variação de parâmetros. Informações relevantes: é uma EDO de segunda ordem, com coeficientes constantes, e termos do lado direito \,e^{2x}.

Passo 2

Classificação da EDO (resumo objetivo do que a equação é):
\text{é uma EDO linear de ordem }2,\\ \text{coeficientes constantes, não homogênea (pois RHS }=e^{2x}\neq0).éãê
Agora vamos começar a resolver: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (essa etapa é necessária para aplicar variação de parâmetros).

Passo 3

Resolvendo a homogênea \;y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0.)
Formamos a equação característica substituindo y=e^{rx}:
r^{2}-4r+4=0.
Resolvendo a quadrática:
r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}=0\implies r=2\\ \text{(raiz dupla)}.
Quando a raiz é dupla r=2, as duas soluções lineares independentes da homogênea são
y_{1}=e^{2x},\qquad y_{2}=x e^{2x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Apresentando o método de variação de parâmetros (fórmula que vamos usar).
Para uma EDO na forma padrão
y^{\prime\prime}+P(x)y^{\prime}+Q(x)y=R(x)
com duas soluções fundamentais y_{1},y_{2} da homogênea, procuramos uma solução particular da forma
y_{p}=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1},u_{2} são funções a determinar. As derivadas u_{1}^{\prime},u_{2}^{\prime} satisfazem (fórmulas padrão)
u_{1}^{\prime}=-\frac{R(x)\,y_{2}(x)}{W(y_{1},y_{2})},\qquad u_{2}^{\prime}=\frac{R(x)\,y_{1}(x)}{W(y_{1},y_{2})},
onde o Wronskiano é
W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}=y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}y_{2}.
No nosso caso a equação já está na forma padrão com R(x)=e^{2x}.

Passo 5

Calculando o Wronskiano com y_{1}=e^{2x} e y_{2}=x e^{2x}.
Primeiro derivadas:
y_{1}^{\prime}=2e^{2x},\qquad y_{2}^{\prime}=(1+2x)e^{2x}.
Agora o Wronskiano:
W=y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}y_{2} = e^{2x}\cdot(1+2x)e^{2x}-2e^{2x}\cdot x e^{2x} = e^{4x}\big((1+2x)-2x\big)=e^{4x}.
Observação: W(x)=e^{4x}\neq0 para todo x, então y_{1},y_{2} são independentes e o método é aplicável.

Passo 6

Calcular u_{1}^{\prime} e u_{2}^{\prime} usando as fórmulas:
u_{1}^{\prime}=-\frac{R\,y_{2}}{W}=-\frac{e^{2x}\cdot (x e^{2x})}{e^{4x}}=-x,
u_{2}^{\prime}=\frac{R\,y_{1}}{W}=\frac{e^{2x}\cdot e^{2x}}{e^{4x}}=1.
Agora integramos para obter u_{1},u_{2}:
u_{1}=\int u_{1}^{\prime}\,dx=\int (-x)\,dx=-\frac{x^{2}}{2}+K_{1},
u_{2}=\int u_{2}^{\prime}\,dx=\int 1\,dx=x+K_{2}.
Os termos constantes K_{1},K_{2} gerariam combinações das soluções homogêneas, por isso, ao construir uma solução particular podemos escolher K_{1}=K_{2}=0. Assim tomamos
u_{1}=-\frac{x^{2}}{2},\qquad u_{2}=x.

Passo 7

Construir a solução particular:
y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2} =\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)e^{2x}+x\cdot (x e^{2x}) =\left(-\frac{x^{2}}{2}+x^{2}\right)e^{2x} =\frac{x^{2}}{2}\,e^{2x}.

Passo 8

Verificação direta (checar que y_{p} satisfaz a equação).
Calculemos as derivadas de y_{p}=\tfrac{x^{2}}{2}e^{2x}:
y_{p}^{\prime}=x e^{2x}+x^{2}e^{2x}=e^{2x}(x+x^{2}),
y_{p}^{\prime\prime}=e^{2x}(1+4x+2x^{2}).
Agora a combinação da equação:
y_{p}^{\prime\prime}-4y_{p}^{\prime}+4y_{p} =e^{2x}\big(1+4x+2x^{2}\big)-4e^{2x}\big(x+x^{2}\big)+4\cdot\frac{x^{2}}{2}e^{2x}.
Fatorando e^{2x} e simplificando os coeficientes:
1+4x+2x^{2}-4x-4x^{2}+2x^{2}=1,
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y_{p}^{\prime\prime}-4y_{p}^{\prime}+4y_{p}=e^{2x},
que é exatamente o termo não homogêneo. Portanto a verificação está correta.

Passo 9

Escrevendo a solução geral somando homogênea e particular:
y=y_{h}+y_{p}=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x}+\frac{x^{2}}{2}e^{2x}.
Isso resolve a EDO e completa a verificação.

Resposta

y=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x}+\frac{x^{2}}{2}e^{2x}

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