Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO a seguir aplicando o método de variação de parâmetros.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=e^{2 x}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=e^{2x}
e pede três coisas: classificar a EDO, verificar (ou checar) que a solução obtida está correta e encontrar a solução geral usando o método de variação de parâmetros. Informações relevantes: é uma EDO de segunda ordem, com coeficientes constantes, e termos do lado direito \,e^{2x}.
Passo 2
Classificação da EDO (resumo objetivo do que a equação é):
\text{é uma EDO linear de ordem }2,\\ \text{coeficientes constantes, não homogênea (pois RHS }=e^{2x}\neq0).
Agora vamos começar a resolver: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (essa etapa é necessária para aplicar variação de parâmetros).
Passo 3
Resolvendo a homogênea \;y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0.)
Formamos a equação característica substituindo y=e^{rx}:
Os termos constantes K_{1},K_{2} gerariam combinações das soluções homogêneas, por isso, ao construir uma solução particular podemos escolher K_{1}=K_{2}=0. Assim tomamos