Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace: \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y=t^{2}+2, \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.
Passo 1
Vou esclarecer o que o problema dá e o que pede, com todas as informações listadas de forma clara.
Enunciado (peguei do problema): resolver a equação diferencial com condições iniciais
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
Expliquei: essas fórmulas aparecem ao integrar por partes a transformada de y' e y''; as condições iniciais aparecem como “valores de fronteira” na integração por partes.
3. Transformada de potências de t: para inteiro n\ge 0,
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Por exemplo \mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}}.
Objetivo prático: aplicar \mathcal{L} em ambos os lados da EDO, resolver algebricamente para Y(s) e depois aplicar a transformada inversa para obter y(t).
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação toda e calcular as transformadas das partes usando as propriedades acima.
Aplicando \mathcal{L} em cada termo da equação \;y''+y=t^{2}+2\; obtemos
A ideia agora é decompor as frações racionais em termos cujo inverso pela transformada de Laplace é conhecido (formas como \dfrac{1}{s^{k}}, \dfrac{s}{s^{2}+1}, \dfrac{1}{s^{2}+1}, etc.).
Passo 5
Fazer as decomposições em frações parciais explicando cada escolha e resolvendo os coeficientes passo a passo.
Decompondo \dfrac{2}{s(s^{2}+1)}\). Procuro forma
\[\frac{2}{s(s^{2}+1)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por s(s^{2}+1):
2=A(s^{2}+1)+(Bs+C)s.
Expandindo e agrupando coeficientes em potências de s:
Note as cancelas: na soma os termos \frac{2}{s} e -\frac{2}{s} se anulam; os termos em \frac{2s}{s^{2}+1} também se anulam com -\frac{2s}{s^{2}+1}. Ficamos apenas com
Y(s)=\frac{s}{s^{2}+1}+\frac{2}{s^{3}}.
Esse é um resultado bonito e simples para inverter.
Passo 6
Calcular a transformada inversa termo a termo e obter y(t).
Conhecimentos usados: \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t (pois \mathcal{L}\{\cos t\}=s/(s^{2}+1)).
E \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2}{s^{3}}\right\}. Como \mathcal{L}\{t^{2}\}=2/s^{3}, segue \mathcal{L}^{-1}\{2/s^{3}\}=t^{2}.
Somando as partes:
y(t)=\cos t + t^{2}.
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança):
Condições iniciais: y(0)=\cos 0 + 0=1 e y'(t)=-\sin t + 2t então y'(0)=0. Conferem.
Substituição na EDO: y''(t)=-\cos t + 2. Logo y''+y=(-\cos t+2)+(\cos t+t^{2})=2+t^{2}, que é exatamente o lado direito. Perfeito.