Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y=t^{2}+2, \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

Vou esclarecer o que o problema dá e o que pede, com todas as informações listadas de forma clara.
  • Enunciado (peguei do problema): resolver a equação diferencial com condições iniciais
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime\prime}+y=t^{2}+2,\\[4pt] y(0)=1,\; y^{\prime}(0)=0. \end{array}\right.
  • O que se pede: encontrar a solução y(t) para t\ge 0 usando a transformada de Laplace.
  • Dados importantes extraídos do enunciado:
    • A equação é linear, de segunda ordem, com termo forçante polinomial t^{2}+2.
    • Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=0.]

Passo 2

Breve aula sobre a transformada de Laplace e as propriedades que vou usar (explico cada símbolo devagarinho).
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada (na prática nas resoluções de EDOs tratamos s como variável real maior que algum valor).
  • Propriedades que vamos aplicar:
    1. Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
    2. Derivadas: para y(t) suficientemente boa vale
    \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
Expliquei: essas fórmulas aparecem ao integrar por partes a transformada de y' e y''; as condições iniciais aparecem como “valores de fronteira” na integração por partes.
3. Transformada de potências de t: para inteiro n\ge 0,
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Por exemplo \mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}}.
  • Objetivo prático: aplicar \mathcal{L} em ambos os lados da EDO, resolver algebricamente para Y(s) e depois aplicar a transformada inversa para obter y(t).

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação toda e calcular as transformadas das partes usando as propriedades acima.
Aplicando \mathcal{L} em cada termo da equação \;y''+y=t^{2}+2\; obtemos
\mathcal{L}\{y''\}+\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{t^{2}\}+\mathcal{L}\{2\}.
Substituindo as fórmulas:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)+Y(s)=\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s}.
Agora uso as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. Então
\bigl(s^{2}Y(s)-s\cdot 1 -0\bigr)+Y(s)=\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s}.
Agrupando Y(s):
\bigl(s^{2}+1\bigr)Y(s)-s=\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s}.

Passo 4

Isolar Y(s) e escrever de forma adequada para inverter depois.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{\dfrac{2}{s^{3}}+\dfrac{2}{s}+s}{s^{2}+1}.
Para manipular melhor, separo termos:
Y(s)=\frac{2}{s^{3}(s^{2}+1)}+\frac{2}{s(s^{2}+1)}+\frac{s}{s^{2}+1}.
A ideia agora é decompor as frações racionais em termos cujo inverso pela transformada de Laplace é conhecido (formas como \dfrac{1}{s^{k}}, \dfrac{s}{s^{2}+1}, \dfrac{1}{s^{2}+1}, etc.).

Passo 5

Fazer as decomposições em frações parciais explicando cada escolha e resolvendo os coeficientes passo a passo.
  1. Decompondo \dfrac{2}{s(s^{2}+1)}\). Procuro forma \[\frac{2}{s(s^{2}+1)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por s(s^{2}+1):
2=A(s^{2}+1)+(Bs+C)s.
Expandindo e agrupando coeficientes em potências de s:
2=(A+B)s^{2}+C s + A.
Comparando coeficientes:
  • coeficiente de s^{2}: A+B=0,
  • coeficiente de s^{1}: C=0,
  • termo constante: A=2.
    Logo A=2, B=-2, C=0. Assim
\frac{2}{s(s^{2}+1)}=\frac{2}{s}-\frac{2s}{s^{2}+1}.
  1. Decompondo \dfrac{2}{s^{3}(s^{2}+1)}. Procuro forma
\frac{2}{s^{3}(s^{2}+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s^{3}}+\frac{Ds+E}{s^{2}+1}.
Multiplico por s^{3}(s^{2}+1):
2=A s^{2}(s^{2}+1)+B s(s^{2}+1)+C(s^{2}+1)+(Ds+E)s^{3}.
Expandindo e agrupando coeficientes por potências de s (mostrando os termos principais):
2=(A+D)s^{4}+(B+E)s^{3}+(A+C)s^{2}+B s + C.
Comparando com o número constante 2, os coeficientes das potências de s maiores devem ser zero, e o termo constante deve ser 2. Obtemos o sistema:
\begin{cases} A+D=0,\\\ B+E=0,\\\ A+C=0,\\\ B=0,\\\ C=2. \end{cases}
Resolvendo: de C=2\] e \(A+C=0 segue A=-2. De B=0 e B+E=0 segue E=0. De A+D=0 segue D=2. Portanto
\frac{2}{s^{3}(s^{2}+1)}=-\frac{2}{s}+\frac{0}{s^{2}}+\frac{2}{s^{3}}+\frac{2s}{s^{2}+1},
ou simplificando,
\frac{2}{s^{3}(s^{2}+1) }=-\frac{2}{s}+\frac{2}{s^{3}}+\frac{2s}{s^{2}+1}.
  1. Agora recolho todas as parcelas de Y(s) usando as decomposições acima:
Y(s)=\underbrace{\frac{s}{s^{2}+1}}_{(i)}+\underbrace{\left(\frac{2}{s}-\frac{2s}{s^{2}+1}\right)}_{(ii)}+\underbrace{\left(-\frac{2}{s}+\frac{2}{s^{3}}+\frac{2s}{s^{2}+1}\right)}_{(iii)}.
Note as cancelas: na soma os termos \frac{2}{s} e -\frac{2}{s} se anulam; os termos em \frac{2s}{s^{2}+1} também se anulam com -\frac{2s}{s^{2}+1}. Ficamos apenas com
Y(s)=\frac{s}{s^{2}+1}+\frac{2}{s^{3}}.
Esse é um resultado bonito e simples para inverter.

Passo 6

Calcular a transformada inversa termo a termo e obter y(t).
  • Conhecimentos usados: \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t (pois \mathcal{L}\{\cos t\}=s/(s^{2}+1)).
  • E \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2}{s^{3}}\right\}. Como \mathcal{L}\{t^{2}\}=2/s^{3}, segue \mathcal{L}^{-1}\{2/s^{3}\}=t^{2}.
Somando as partes:
y(t)=\cos t + t^{2}.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Condições iniciais: y(0)=\cos 0 + 0=1 e y'(t)=-\sin t + 2t então y'(0)=0. Conferem.
  • Substituição na EDO: y''(t)=-\cos t + 2. Logo y''+y=(-\cos t+2)+(\cos t+t^{2})=2+t^{2}, que é exatamente o lado direito. Perfeito.

Resposta

y(t)=\cos t + t^{2}

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