Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial composto por uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea e condições iniciais. Escrevendo claramente o que é dado e o que se pede:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
- O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Vou aplicar a transformada de Laplace às duas faces da equação. Primeiro, lembro a definição básica e as fórmulas para derivadas:
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
(definida para ),
Aqui
é a variável complexa da transformada e
é frequentemente denotada por
.
- Fórmulas úteis para transformadas de derivadas (valem para
com condições iniciais dadas em ):
onde
. Nestas fórmulas,
e
são os valores iniciais (números conhecidos).
Agora aplico
à equação
.
Passo 3
Aplicando a transformada termo a termo e usando as fórmulas para derivadas:
Substituindo as expressões:
Agora escrevo tudo em termos de
e das condições iniciais
e
. Primeiro fatoro
:
Substituo
e
:
Somando os termos constantes
, mas atenção ao sinal: a expressão é
, então movendo para o outro lado obtemos:
Passo 4
Isolo
:
Fatoro o denominador quadrático para preparar decomposição em frações simples:
Então
Passo 5
Faço a decomposição em frações parciais na forma
Multiplicando por
obtemos a identidade polinomial
Agora igualo coeficientes. Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes de
e termos constantes:
Resolvo o sistema. Da primeira equação
aos dois lados:
. Logo
E
Portanto a decomposição é
Passo 6
Faço a transformada inversa usando fórmulas básicas da tabela de Laplace:
- Regra básica:
para . Assim, .
Aplicando a transformada inversa a cada termo:
Somando, a solução no domínio do tempo é
Passo 7
Verificação rápida das condições iniciais (confirmação, passo didático):
- Em
: (confere). - Derivando:
. Em : (confere).
Tudo bate com as condições iniciais, então a solução está correta.