Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=0, \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=\frac{1}{3}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial composto por uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea e condições iniciais. Escrevendo claramente o que é dado e o que se pede:
  • Equação diferencial: y''+y'-6y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=\tfrac{1}{3}.
  • O que se pede: encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Vou aplicar a transformada de Laplace às duas faces da equação. Primeiro, lembro a definição básica e as fórmulas para derivadas:
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (definida para t\ge 0),
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui s é a variável complexa da transformada e \mathcal{L}\{f\}(s) é frequentemente denotada por F(s).
  • Fórmulas úteis para transformadas de derivadas (valem para y(t) com condições iniciais dadas em t=0):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s). Nestas fórmulas, y(0) e y'(0) são os valores iniciais (números conhecidos).
Agora aplico \mathcal{L}\{\cdot\} à equação \,y''+y'-6y=0.

Passo 3

Aplicando a transformada termo a termo e usando as fórmulas para derivadas:
\mathcal{L}\{y''\}(s)+\mathcal{L}\{y'\}(s)-6\mathcal{L}\{y\}(s)=0.
Substituindo as expressões:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)+\big(sY(s)-y(0)\big)-6Y(s)=0.
Agora escrevo tudo em termos de Y(s) e das condições iniciais \,y(0)=1 e \,y'(0)=\tfrac{1}{3}. Primeiro fatoro Y(s):
\big(s^{2}+s-6\big)Y(s)-s\,y(0)-y'(0)-y(0)=0.
Substituo y(0)=1 e y'(0)=\tfrac{1}{3}:
\big(s^{2}+s-6\big)Y(s)-s-\tfrac{1}{3}-1=0.
Somando os termos constantes -\tfrac{1}{3}-1=-\tfrac{4}{3}, mas atenção ao sinal: a expressão é -s-(1/3)-1, então movendo para o outro lado obtemos:
\big(s^{2}+s-6\big)Y(s)=s+\tfrac{4}{3}.

Passo 4

Isolo Y(s):
Y(s)=\frac{s+\tfrac{4}{3}}{s^{2}+s-6}.
Fatoro o denominador quadrático para preparar decomposição em frações simples:
s^{2}+s-6=(s-2)(s+3).
Então
Y(s)=\frac{s+\tfrac{4}{3}}{(s-2)(s+3)}.

Passo 5

Faço a decomposição em frações parciais na forma \dfrac{A}{s-2}+\dfrac{B}{s+3}\). Ou seja, procuro constantes \(A\) e \(B\) tais que \[\frac{s+\tfrac{4}{3}}{(s-2)(s+3)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+3}.
Multiplicando por (s-2)(s+3) obtemos a identidade polinomial
s+\tfrac{4}{3}=A(s+3)+B(s-2).
Agora igualo coeficientes. Expandindo o lado direito:
A(s+3)+B(s-2)=(A+B)s+(3A-2B).
Comparando coeficientes de s e termos constantes:
\begin{cases} \text{coeficiente de }s: & 1 = A+B,\\[4pt] \text{constante:} & \tfrac{4}{3}=3A-2B. \end{cases}
Resolvo o sistema. Da primeira equação B=1-A\]. Substituo na segunda: \[\tfrac{4}{3}=3A-2(1-A)=3A-2+2A=5A-2.\] Somando \(2 aos dois lados: 5A=\tfrac{4}{3}+2=\tfrac{4}{3}+\tfrac{6}{3}=\tfrac{10}{3}. Logo
A=\frac{10}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{3}.
E
B=1-A=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.
Portanto a decomposição é
Y(s)=\frac{\tfrac{2}{3}}{s-2}+\frac{\tfrac{1}{3}}{s+3}.]

Passo 6

Faço a transformada inversa usando fórmulas básicas da tabela de Laplace:
  • Regra básica: \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{s-a} para \Re(s)>a. Assim, \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Aplicando a transformada inversa a cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\tfrac{2}{3}}{s-2}\right\}=\tfrac{2}{3}e^{2t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\tfrac{1}{3}}{s+3}\right\}=\tfrac{1}{3}e^{-3t}.
Somando, a solução no domínio do tempo é
y(t)=\tfrac{2}{3}e^{2t}+\tfrac{1}{3}e^{-3t}.

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (confirmação, passo didático):
  • Em t=0: y(0)=\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{3}=1 (confere).
  • Derivando: y'(t)=\tfrac{4}{3}e^{2t}-1\cdot e^{-3t}. Em t=0: y'(0)=\tfrac{4}{3}-1=\tfrac{1}{3} (confere).
Tudo bate com as condições iniciais, então a solução está correta.

Resposta

y(t)=\tfrac{2}{3}e^{2t}+\tfrac{1}{3}e^{-3t}

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