Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial e pede a solução
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes.
- Condições iniciais em
e
. - Objetivo: encontrar a função
que satisfaça a equação e as condições iniciais.]
Passo 2
O que é a transformada de Laplace e fórmulas que vamos usar (aqui explico com calma).
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
(definida para ) é
onde
é uma variável complexa (na prática, para resolver EDOs usamos
como parâmetro real suficiente).
- Propriedade de linearidade:
. - Fórmulas para derivadas (importantes e muito úteis em provas):
- Se
, então
- E
- Se
Explicação rápida de por que a fórmula para
vale (intuição e derivação simples): integrar por partes
onde usamos que
quando
para funções razoáveis. A fórmula de
vem aplicando a de
novamente.
Dica prática para a prova: decore as fórmulas das transformadas das derivadas; elas economizam muito tempo.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial inteira. Tomando
em ambos os lados de
obtemos
Usando as fórmulas das derivadas e escrevendo
, temos
Agora substituímos as condições iniciais
e
:
Passo 4
Isolar
e simplificar:
Logo
Para inverter a transformada, separamos em termos conhecidos:
Lembrando as transformadas-padrão:
-
, -
.
Passo 5
Aplicar a transformada inversa termo a termo:
Usando as correspondências dadas,
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom fazer na prova para checar erros de sinal/constante):
-
, ok. -
, então , ok. - Substituindo na EDO:
. Então , ok.
Parabéns — solução encontrada e verificada. Dica final: para EDOs lineares com condições iniciais, a transformada de Laplace costuma ser mais direta que tentar resolver a equação característica quando há termos forçados; aqui era simples também, e o método funcionou rápido.