Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y=0, \\\ y(0)=\frac{2}{3}, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial e pede a solução y(t)\): \[\begin{cases} y''+y=0,\\[4pt] y(0)=\dfrac{2}{3},\quad y'(0)=1. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes.
  • Condições iniciais em t=0\]: \(y(0)=\dfrac{2}{3} e y'(0)=1.
  • Objetivo: encontrar a função y(t) que satisfaça a equação e as condições iniciais.]

Passo 2

O que é a transformada de Laplace e fórmulas que vamos usar (aqui explico com calma).
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) (definida para t\ge0) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, para resolver EDOs usamos s como parâmetro real suficiente).
  • Propriedade de linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
  • Fórmulas para derivadas (importantes e muito úteis em provas):
    • Se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, então
    \mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
    • E
    \mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Explicação rápida de por que a fórmula para y' vale (intuição e derivação simples): integrar por partes
\mathcal{L}\{y'\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y'(t)\,dt =\big[e^{-st}y(t)\big]_{0}^{\infty}+s\int_{0}^{\infty}e^{-st}y(t)\,dt =0-y(0)+sY(s)=sY(s)-y(0),
onde usamos que e^{-st}y(t)\to0 quando t\to\infty para funções razoáveis. A fórmula de y'' vem aplicando a de y' novamente.
Dica prática para a prova: decore as fórmulas das transformadas das derivadas; elas economizam muito tempo.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial inteira. Tomando \mathcal{L}\{\cdot\} em ambos os lados de
y''+y=0
obtemos
\mathcal{L}\{y''\}(s)+\mathcal{L}\{y\}(s)=0.
Usando as fórmulas das derivadas e escrevendo Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), temos
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)+Y(s)=0.
Agora substituímos as condições iniciais y(0)=\dfrac{2}{3} e y'(0)=1:
s^{2}Y(s)-s\cdot\dfrac{2}{3}-1 + Y(s)=0.

Passo 4

Isolar Y(s) e simplificar:
Y(s)(s^{2}+1)=s\cdot\dfrac{2}{3}+1.
Logo
Y(s)=\frac{\dfrac{2}{3}\,s+1}{s^{2}+1}.
Para inverter a transformada, separamos em termos conhecidos:
Y(s)=\frac{2}{3}\cdot\frac{s}{s^{2}+1}+\frac{1}{s^{2}+1}.
Lembrando as transformadas-padrão:
  • \mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}+1},
  • \mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}.

Passo 5

Aplicar a transformada inversa termo a termo:
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t)=\frac{2}{3}\,\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\}(t)+\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}(t).
Usando as correspondências dadas,
y(t)=\frac{2}{3}\cos t+\sin t.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom fazer na prova para checar erros de sinal/constante):
  • y(0)=\dfrac{2}{3}\cos 0+\sin 0=\dfrac{2}{3}, ok.
  • y'(t)=-\dfrac{2}{3}\sin t+\cos t, então y'(0)=0+1=1, ok.
  • Substituindo na EDO: y''(t)=-\dfrac{2}{3}\cos t-\sin t. Então y''+y=(-\dfrac{2}{3}\cos t-\sin t)+(\dfrac{2}{3}\cos t+\sin t)=0, ok.
Parabéns — solução encontrada e verificada. Dica final: para EDOs lineares com condições iniciais, a transformada de Laplace costuma ser mais direta que tentar resolver a equação característica quando há termos forçados; aqui era simples também, e o método funcionou rápido.

Resposta

y(t)=\dfrac{2}{3}\cos t+\sin t

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