Resolva os seguintes problemas de valores iniciais com o uso da Transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=u_{2}(t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y''+3y'+2y = u_{2}(t), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=1,
onde u_{2}(t) é a função degrau unitário deslocada em t=2. Vamos usar:
  1. Propriedades de transformada de derivadas.
  2. \mathcal L\{u_{2}(t)\}=e^{-2s}/s.
  3. Teorema de deslocamento em t para a inversa de termos com e^{-2s}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace à equação, usando
\mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0), \qquad \mathcal L\{y'\}=sY(s)-y(0),
temos
(s^2Y - 0\cdot s -1)+3\,(sY-0)+2Y = \frac{e^{-2s}}{s}.
Isso simplifica para
(s^2+3s+2)\,Y(s) -1 = \frac{e^{-2s}}{s}.

Passo 3

Isolando Y(s), obtemos
Y(s) = \frac{1}{s^2+3s+2} \;+\;\frac{e^{-2s}}{s\,(s^2+3s+2)}.

Passo 4

Fazendo frações parciais em cada termo:
\frac{1}{s^2+3s+2} =\frac{1}{(s+1)(s+2)} =\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2},
\frac{1}{s(s+1)(s+2)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2} \quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac12,\;B=-1,\;C=\tfrac12,
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\frac{e^{-2s}}{s(s^2+3s+2)} =e^{-2s}\Bigl(\tfrac12\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}+\tfrac12\frac{1}{s+2}\Bigr).

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo e usando o deslocamento em t=2, vem
y(t) =\bigl(e^{-t}-e^{-2t}\bigr) +u_{2}(t)\Bigl(\tfrac12 -e^{-(t-2)}+\tfrac12e^{-2(t-2)}\Bigr).

Resposta

y(t)=e^{-t}-e^{-2t} +u_{2}(t)\Bigl(\tfrac12 -e^{-(t-2)}+\tfrac12e^{-2(t-2)}\Bigr).

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