Dados os pontos A(-1,0,1), B(1,-1,1) e C(-1,1,-2) encontre as equações paramétricas e cartesianas do plano que os contêm.

Passo 1

O enunciado dá três pontos
A(-1,0,1),\quad B(1,-1,1),\quad C(-1,1,-2)
e pede as equações do plano que passa por eles.
Conteúdo: representação de um plano no espaço por meio de forma paramétrica (usando dois vetores diretores) e forma cartesiana (usando vetor normal).
Para resolver, vamos
  1. calcular dois vetores diretores no plano, por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC};
  2. usar esses vetores para escrever a forma paramétrica;
  3. fazer o produto vetorial para obter o vetor normal e montar a forma cartesiana.

Passo 2

Calcular os vetores diretores
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-(-1),\,-1-0,\,1-1)=(2,\,-1,\,0),
\overrightarrow{AC}=C-A=(-1-(-1),\,1-0,\,-2-1)=(0,\,1,\,-3).

Passo 3

A forma paramétrica do plano parte de um ponto (escolhemos A) e soma combinações lineares dos vetores diretores. Chamando os parâmetros de s e t, temos
\bigl(x,y,z\bigr) =\bigl(-1,0,1\bigr) + s\,(2,-1,0) + t\,(0,1,-3).
Em coordenadas separadas,
x=-1+2s,\quad y=0- s + t=-s+t,\quad z=1-3t.

Passo 4

Para a forma cartesiana, precisamos do vetor normal \mathbf{n}, obtido por
\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & -3 \end{vmatrix} =(3,\,6,\,2).

Passo 5

A equação do plano com normal \mathbf{n}=(3,6,2) que passa por A(-1,0,1) é
3\,(x+1)+6\,(y-0)+2\,(z-1)=0
\implies 3x+3+6y+2z-2=0
\implies 3x+6y+2z+1=0.

Resposta

Forma paramétrica:
\begin{cases} x=-1+2s,\\\ y=-s+t,\\\ z=1-3t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.
Forma cartesiana:
3x+6y+2z+1=0.

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