Dados os pontos A(-1,0,1) e B(1,-1,1) encontre as equações paramétricas e simétricas da reta que os contêm.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos em \mathbb{R}^3:
A(-1,0,1),\quad B(1,-1,1).
Pede-se as equações paramétricas e simétricas da reta que passa por A e B.
O conteúdo necessário é:
– calcular o vetor direção \vec v = \overrightarrow{AB},
– usar a forma paramétrica da reta P = P_0 + t\,\vec v,
– a partir daí extrair a forma simétrica.

Passo 2

O vetor direção é
\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - (-1),\,-1 - 0,\;1 - 1) = (2,\,-1,\,0).

Passo 3

Escolhendo A como ponto-base e t\in\mathbb{R}, as equações paramétricas são
\begin{cases} x = -1 + 2t,\\\ y = 0 - 1\cdot t = -t,\\\ z = 1 + 0\cdot t = 1. \end{cases}

Passo 4

Para obter a forma simétrica, igualamos cada parâmetro a t, exceto onde o componente direção é zero. Como a componente em z é zero, z fica constante. Logo
\frac{x - (-1)}{2} \;=\;\frac{y - 0}{-1},\quad z = 1,
ou de modo mais compacto
\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{-1},\quad z = 1.

Resposta

Equações paramétricas:
\begin{cases} x = -1 + 2t,\\\ y = -t,\\\ z = 1. \end{cases}
Equações simétricas:
\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{-1},\quad z = 1.

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