Resolva as seguintes recorrências de 1^a ordem:
(n+1) xn+1+n xn=2 n-3, x1=1.

Passo 1

O enunciado dá a recorrência de primeira ordem \r
(n+1),xn+1+n,xn=2,n-3, x1=1 \r
e pede xn em forma fechada. Vamos usar a técnica de mudança de variável para obter uma recorrência mais simples e então resolver uma equação de recorrência linear não homogênea de primeira ordem.

Passo 2

Definimos
yn=n,xn,
então yn+1=(n+1),xn+1. Substituindo na recorrência original, obtemos
yn+1+yn=2,n-3

Passo 3

A recorrência em yn é
yn+1=-,yn+2,n-3,
que é linear não homogênea de primeira ordem. Para resolver, determinamos a solução geral como soma da solução homogênea yn^h e de uma solução particular yn^p.

Passo 4

A parte homogênea satisfaz
yn+1^h=-,yn^h,
cuja solução geral é
yn^h=C,(-1)^n,
com C constante a determinar.

Passo 5

Procuramos uma solução particular da forma yn^p=A,n+B. Substituindo em
yn+1^p+yn^p=2,n-3
temos
[A(n+1)+B]+[A,n+B]=2,n-3 Longrightarrow 2A,n+(A+2B)=2,n-3
Comparando coeficientes dá 2A=2Rightarrow A=1 e A+2B=-3Rightarrow B=-2. Logo
yn^p=n-2

Passo 6

A solução geral é
yn=yn^h+yn^p=C,(-1)^n+n-2
Usando a condição inicial y1=1cdot x1=1, temos
y1=C,(-1)^1+1-2=-C-1=1 Longrightarrow C=-2
Assim
yn=-2,(-1)^n+n-2

Passo 7

Voltando a xn=dfracynn, obtemos
xn =-2,(-1)^n+n-2n =1-2n-2,(-1)^nn =1-2l(1+(-1)^nr)n

Resposta

boxedxn=1-2l(1+(-1)^nr)n

Exercícios relacionados