Resolva as seguintes recorrências de
ordem:
.
Passo 1
O enunciado dá a recorrência de primeira ordem \r
e pede
em forma fechada. Vamos usar a técnica de mudança de variável para obter uma recorrência mais simples e então resolver uma equação de recorrência linear não homogênea de primeira ordem.
Passo 2
Definimos
então
. Substituindo na recorrência original, obtemos
Passo 3
A recorrência em
é
que é linear não homogênea de primeira ordem. Para resolver, determinamos a solução geral como soma da solução homogênea
e de uma solução particular
.
Passo 4
A parte homogênea satisfaz
cuja solução geral é
com
constante a determinar.
Passo 5
Procuramos uma solução particular da forma
. Substituindo em
temos
Comparando coeficientes dá
e
. Logo
Passo 6
A solução geral é
Usando a condição inicial
, temos
Assim
Passo 7
Voltando a
, obtemos