Considere o seguinte sistema linear:
3 x+4 y & =10 2 x-y & =1
(a) Escreva o sistema na forma matricial A cdot x=b, identificando A, x e b.
(b) Calcule a matriz inversa A^-1.
(c) Resolva o sistema utilizando x=A^-1 cdot b.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
3x + 4y = 10, 2x - y = 1
usando a forma matricial Ax=b e a matriz inversa. Vamos (a) identificar A, x e b, (b) calcular A^-1 e (c) obter x=A^-1b.

Passo 2

Para escrever o sistema na forma Ax=b, identificamos:
A = 3 & 4 [6pt] 2 & -1, x = x [3pt] y, b = 10 [3pt] 1 ]

Passo 3

Primeiro calculamos o determinante de A:
det(A) = 3cdot(-1) - 4cdot 2 = -3 - 8 = -11
Como det(A)neq 0, A é invertível e sua inversa é dada para matriz 2times2 por
A^-1 = 1det(A) -1 & -4 [3pt] -2 & ;;3 = 1-11 -1 & -4 [3pt] -2 & ;3 = 111 & 411 [6pt] 211 & -311 ]

Passo 4

Agora calculamos x=A^-1b:
x = 111 & 411 [6pt] 211 & -311 10 [3pt] 1 = 10 + 411 [6pt] 20 - 311 = 1411 [3pt] 1711 ]

Resposta

(a)
A = 3 & 4 2 & -1, x = x y, b = 10 1
(b)
A^-1 = 111 & 411 [3pt] 211 & -311
(c)
x y = 1411 [3pt] 1711 ]

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