Resolva os seguintes sistemas.
a) l4^x cdot 8^y=14 9^x cdot 27^2 y=3

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações exponenciais
4^xcdot8^y=tfrac14, 9^xcdot27^2y=3,
e pede (x,y). O conteúdo aqui é usar propriedades de potências para reescrever tudo numa mesma base e transformar em um sistema linear.

Passo 2

Na primeira equação, note que 4=2^2, 8=2^3 e tfrac14=2^-2. Logo,
4^xcdot8^y=(2^2)^x,(2^3)^y=2^2x+3y
e a igualdade 2^2x+3y=2^-2 implica
2x+3y=-2

Passo 3

Na segunda equação, use 9=3^2, 27=3^3 e 3=3^1. Assim,
9^xcdot27^2y=(3^2)^x,(3^3)^2y=3^2x+6y
e de 3^2x+6y=3^1 vem
2x+6y=1

Passo 4

Agora resolvemos o sistema linear
2x+3y=-2, 2x+6y=1
Subtraindo a primeira da segunda:
(2x+6y)-(2x+3y)=1-(-2)Longrightarrow3y=3Longrightarrow y=1
Em seguida, em 2x+3y=-2 substituímos y=1:
2x+3cdot1=-2Longrightarrow2x=-5Longrightarrow x=-tfrac52

Resposta

(x,y)=l(-tfrac52,,1r)

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