Resolva os seguintes sistemas. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned} x+3 y & =-4 \\\\ 2 x+5 y & =-8 \\\ x+3 y & =-5\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema e classificá‑lo. As equações fornecidas são:
\begin{cases} x+3y=-4,\\[4pt] 2x+5y=-8,\\[4pt] x+3y=-5. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
  • Temos três equações lineares com duas incógnitas (x,y).
  • As duas primeiras equações parecem diferentes, mas a primeira e a terceira têm o mesmo lado esquerdo (x+3y) com constantes diferentes no lado direito.

Passo 2

O método que vou usar é eliminação simples (operações entre equações) para verificar se existe solução e, se houver, encontrá‑la. Vou também explicar o raciocínio passo a passo para você entender como detectar uma incompatibilidade rapidamente na prova. Ideia-chave: se duas equações têm exatamente o mesmo lado esquerdo e diferentes termos independentes, elas não podem ser satisfeitas ao mesmo tempo por um mesmo par (x,y) — isso gera uma contradição.

Passo 3

Compare a primeira e a terceira equações: ambas têm o mesmo lado esquerdo (x+3y), mas os lados direitos são -4 e -5. Subtraindo a terceira da primeira (ou vice‑versa) obtemos:
(x+3y)-(x+3y) = -4 -(-5).
No lado esquerdo o resultado é 0; no direito:
0 = -4 +5 = 1.
Assim chegamos à igualdade absurda
0 = 1.
Expliquei o cálculo: ao subtrair duas expressões idênticas (x+3y) elas se anulam; no lado direito subtrai‑se os números e obtemos 1. Isso é impossível — uma identidade falsa — então essas duas equações não podem ser verdadeiras simultaneamente.

Passo 4

Vou mostrar de outro jeito (útil para a prova): resolvendo as duas primeiras equações e verificando a terceira. Pegue as equações
\begin{cases} x+3y=-4,\\[4pt] 2x+5y=-8. \end{cases}
Multiplique a primeira por 2:
2x+6y=-8.
Subtraia a segunda equação dessa nova equação:
(2x+6y)-(2x+5y) = -8 -(-8).
No lado esquerdo sobra y; no direito sobra 0. Logo
y=0.
Substitua y=0 em x+3y=-4:
x+3\cdot 0 = -4 \quad\Rightarrow\quad x=-4.
Portanto, as duas primeiras equações têm a solução (x,y)=(-4,0).]

Passo 5

Agora verifique essa solução na terceira equação x+3y=-5. Substituindo (x,y)=(-4,0):
-4 + 3\cdot 0 = -4 \neq -5.
Ou seja, a solução das duas primeiras equações não satisfaz a terceira. Isso confirma, por outro caminho, que não existe nenhum par (x,y) que satisfaça as três equações ao mesmo tempo.

Passo 6

Conclusão lógica (como identificar isso rápido na prova):
  • Se, ao fazer eliminação, você obter uma igualdade do tipo \;0 = c\; com c\neq 0 (por exemplo \;0=1\;), isso significa que o sistema é impossível — não há solução.
  • Outra forma rápida é observar equações com o mesmo lado esquerdo e diferentes termos independentes: isso já é suficiente para declarar incompatibilidade sem fazer mais contas.

Resposta

Não existe solução para o sistema (nenhum par (x,y) satisfaz as três equações).
Classificação: sistema incompatível (inconsistente).

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