Em cada um dos sistemas abaixo encontre condições sobre a, b e c de modo que o mesmo tenha respectivamente uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução:
\left\{\begin{array}{rrrl}x & + & a y & - \\\\ -x & + & (a-2) y & = \\\\ 2 x & + & z & = \\\\ 2 y & + & (a-2) z & =1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: “Em cada um dos sistemas abaixo encontre condições sobre a, b e c de modo que o mesmo tenha respectivamente uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução.”\n
As informações fornecidas no enunciado (copiadas da sua mensagem) são as equações:
\left\{\begin{array}{rrrl} x & + & a y & - \\[4pt] - x & + & (a-2) y & = \\[4pt] 2 x & + & z & = \\[4pt] 2 y & + & (a-2) z & =1 \end{array}\right.
Lista do que está claro e do que falta:
  • Está claro que as incógnitas parecem ser x,y,z.
  • Das quatro equações, apenas a quarta tem o lado direito fornecido: 2y+(a-2)z=1.
  • As três primeiras equações estão incompletas: falta o termo do membro direito (os constantes) e na primeira/segunda equações o símbolo final é apenas um hífen (-) que pode indicar um termo faltante (por exemplo, talvez estivesse escrito “ -z = b” ou algo parecido), mas eu não tenho certeza do que esse - significa.
  • Portanto faltam informações necessárias (os termos do lado direito de, pelo menos, três equações e a clarificação do símbolo - nas duas primeiras linhas).]

Passo 2

Por que isso é um problema e o que seria necessário para resolver:
  • Para decidir se um sistema linear tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução precisamos conhecer completamente as equações — ou seja, todos os coeficientes e todos os termos constantes do lado direito.
  • Com os três primeiros lados direitos faltando (e possivelmente coeficientes ambíguos indicados pelo -), não é possível montar o vetor de termos independentes nem confirmar os coeficientes de todas as linhas. Sem essa informação não dá para aplicar nenhum procedimento que leve a uma conclusão definitiva.
  • O que eu precisaria (sem inventar nada) seria: os termos do lado direito das equações 1, 2 e 3, e a confirmação do que representa o - nas duas primeiras linhas (por exemplo, se é "-z" ou outra coisa).

Passo 3

Explicação didática do método que usaríamos assim que o sistema estiver completo (passo a passo que serve para a prova)
  • Conceito básico: escrevemos o sistema na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}, onde A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{x} o vetor incógnitas e \mathbf{b} o vetor dos termos constantes (lados direitos).
  • Definições importantes: A=\text{matriz dos coeficientes},\qquad \mathbf{b}=\text{vetor dos termos independentes},\qquad [A|\mathbf{b}]=\text{matriz aumentada}.O posto (rank) de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes.
  • Critério de consistência e número de soluções (teorema de Rouché–Capelli):
    • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])=n (onde n é o número de incógnitas) então o sistema tem solução única.
    • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])<n então o sistema tem infinitas soluções (grau de liberdade n-\operatorname{rank}(A)).
    • Se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}]) então o sistema não tem solução (inconsistente).
  • Como aplicar na prática (passos para a prova):
    1. Monte A e [A|\mathbf{b}].
    2. Faça eliminação de Gauss (redução por linhas) para encontrar os pivôs e determinar o posto de cada matriz — conte o número de linhas não nulas na forma escalonada.
    3. Compare os postos conforme o critério acima.
    4. Alternativa rápida quando o sistema tem n equações iguais ao número de incógnitas (sistema quadrado): calcule \det(A). Se \det(A)\neq0 então única solução; se \det(A)=0 então pode ser infinitas ou nenhuma solução, aí volta a verificar os postos (ou a matriz aumentada).
  • Exemplo concreto didático (modelo que você pode aplicar):
    • Suponha que, depois de corrigir o enunciado, a matriz dos coeficientes seja A=\begin{pmatrix} 1 & a & -1\\[4pt] -1 & a-2 & -1\\[4pt] 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & a-2 \end{pmatrix},e que o vetor dos termos seja \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3,1)^\top (aqui eu usei b_1,b_2,b_3 como símbolos para os termos que faltam).
    • Para testar se \operatorname{rank}(A)=3 (número de incógnitas n=3), escolha qualquer submatriz 3\times3 (por exemplo as linhas 1,3,4) e calcule seu determinante. Se algum desses determinantes for não nulo, então \operatorname{rank}(A)=3 e, se o sistema for consistente (ou seja, o mesmo posto para a aumentada), haverá solução única. Caso todos os determinantes 3\times3 sejam zero, então \operatorname{rank}(A)\le2 e então proceda a comparar com \operatorname{rank}([A|\mathbf{b}]).
    • Para verificar \operatorname{rank}([A|\mathbf{b}]) você faz a mesma eliminação incluindo a coluna \mathbf{b} e vê se aparece uma linha do tipo (0\;0\;0\;|\;d) com d\neq0; se aparecer, então \operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])>\operatorname{rank}(A) e o sistema é incompatível.
  • Observação: Não se usa a Regra de Cramer diretamente quando a matriz dos coeficientes não é quadrada (por exemplo, aqui temos 4 equações e 3 incógnitas); aí o critério por postos é o adequado.]

Passo 4

Aplicando o raciocínio ao sistema que você enviou: impossibilidade prática
  • Eu extraí da sua mensagem os coeficiente visíveis e também as ausências:
    • Da linha 1 leio algo como x + a y seguido de um hífen (não sei se isso representaria -z ou se falta outra coisa).
    • Da linha 2 leio algo como -x + (a-2)y sem o lado direito.
    • Da linha 3 leio 2x + z sem o lado direito.
    • Da linha 4 leio 2y + (a-2)z = 1.
  • Com esses dados incompletos eu não posso montar corretamente \mathbf{b} nem garantir quais são todos os coeficientes da coluna de z nas linhas 1 e 2. Por isso não é possível calcular \operatorname{rank}(A) nem \operatorname{rank}([A|\mathbf{b}]) de forma correta, e assim não é possível fornecer as condições sobre a,b,c pedidas no enunciado.

Passo 5

O que você deve fazer agora (rápido guia para a prova / para me mandar se quiser que eu resolva):
  • Confirme e reenvie o enunciado completo exactamente como aparece no caderno ou no PDF, certificando-se de que cada equação tenha o lado direito (o termo após o =) e que não haja símbolos truncados (o - nas duas primeiras linhas deve ser esclarecido).
  • Assim que eu tiver o sistema completo eu aplico o procedimento passo a passo: monto A e [A|\mathbf{b}], reduzo por linhas, calculo postos e apresento as condições sobre a,b,c com explicações detalhadas e contas desenvolvidas para você poder reproduzir na prova.

Resposta

Não é possível determinar as condições pedidas porque o enunciado está incompleto: faltam os termos constantes (lados direitos) das três primeiras equações e o símbolo - nas primeiras linhas está ambíguo (não sei se indica "-z" ou outra coisa). Sem esses dados não se pode montar a matriz aumentada nem calcular os postos necessários para decidir unicidade / infinitude / inexistência de soluções.

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