Resolva os seguintes sistemas de equações:
\left\{\begin{array}{l}(x-1)^{2}-(y+2)^{2}=x(x-3)-y^{2} \\\ \frac{x-1}{2}-\frac{2 y-1}{3}=1-\frac{x-1}{6}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} (x-1)^{2}-(y+2)^{2}=x(x-3)-y^{2},\\[4pt] \displaystyle \frac{x-1}{2}-\frac{2y-1}{3}=1-\frac{x-1}{6}, \end{cases}
ou seja, uma equação envolvendo diferença de quadrados e outra com frações lineares. Para resolver, vamos expandir e simplificar cada uma, obtendo um sistema linear em x e y.]

Passo 2

Tratando a primeira equação, expandimos ambos os lados:
(x-1)^{2}-(y+2)^{2} = \bigl(x^{2}-2x+1\bigr)-\bigl(y^{2}+4y+4\bigr) = x^{2}-2x-y^{2}-4y-3
e
x(x-3)-y^{2} = x^{2}-3x-y^{2}.
Igualando e cancelando x^{2} e -y^{2}, vem
-2x -4y -3 = -3x \quad\Longrightarrow\quad x -4y -3 = 0.

Passo 3

Agora a segunda equação, multiplicamos ambos os lados por 6 para eliminar denominadores:
6\cdot\frac{x-1}{2} - 6\cdot\frac{2y-1}{3} = 6 - 6\cdot\frac{x-1}{6}
3(x-1) - 2(2y-1) = 6 - (x-1) \quad\Longrightarrow\quad 3x -3 -4y +2 = 6 - x +1
3x -4y -1 = 7 - x \quad\Longrightarrow\quad 4x -4y -8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - y -2 = 0.

Passo 4

Ficamos com o sistema linear
\begin{cases} x - 4y -3 = 0,\\\ x - y -2 = 0. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
(x - 4y -3) - (x - y -2) = 0 \;\Longrightarrow\; -3y -1 = 0 \;\Longrightarrow\; y = -\tfrac{1}{3}.
Substituindo em x - y -2 = 0:
x - \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) -2 = 0 \;\Longrightarrow\; x + \tfrac{1}{3} = 2 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{5}{3}.

Resposta

\displaystyle x = \frac{5}{3},\quad y = -\frac{1}{3}.

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