Resolva os seguintes sistemas de equações:
\left\{\begin{array}{l}\log _{2}(x+y)=3 \\\\ 2^{x} \div 2^{y}=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} \log_{2}(x+y)=3,\\\\ 2^{x}\div2^{y}=4 \end{cases}
Aqui vamos usar duas propriedades básicas:
– Definição de logaritmo: \log_{2}A=3 implica A=2^{3}.
– Potências de base igual: 2^{x}\div2^{y}=2^{\,x-y}.

Passo 2

Aplicando a definição de logaritmo à primeira equação, temos
x+y = 2^{3} = 8.

Passo 3

Usando a regra de divisão de potências na segunda equação, obtemos
2^{x-y} = 4 = 2^{2}
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x - y = 2.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema linear
\begin{cases} x+y=8,\\\ x-y=2. \end{cases}
Somando as duas equações:
2x = 10 \quad\Rightarrow\quad x = 5.
Substituindo em x+y=8:
5 + y = 8 \quad\Rightarrow\quad y = 3.

Resposta

(x,y) = (5,3)

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