Resolva os seguintes sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação de Gauss.
c. c4 cdot x1+3 cdot x2+2 cdot x3+x4=1 3 cdot x1+4 cdot x2+3 cdot x3+2 cdot x4=1 2 cdot x1+3 cdot x2+4 cdot x3+3 cdot x4=-1 x1+2 cdot x2+3 cdot x3+4 cdot x4=-1

Passo 1

Estamos resolvendo o sistema de 4 equações lineares nas incógnitas x1,x2,x3,x4 usando o método da eliminação de Gauss. Para isso vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para chegar a uma forma triangular, e depois usar retro-substituição.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:

Passo 3

Eliminamos x1 das linhas 2, 3 e 4 usando combinações lineares com a linha 1 como pivô:
R2 R2-tfrac34R1
R3 R3-tfrac12R1
R4 R4-tfrac14R1
Isso gera:

Passo 4

Agora usamos tfrac74 (elemento (2,2)) como pivô para eliminar x2 das linhas 3 e 4:
R3 R3-tfrac(3/2)(7/4)R2=R3-tfrac67R2
R4 R4-tfrac(5/4)(7/4)R2=R4-tfrac57R2
Fica:

Passo 5

Em seguida eliminamos x3 da linha 4 usando o pivô tfrac127 em (3,3):
R4 R4-tfrac(10/7)(12/7)R3=R4-tfrac56R3
Obtendo a forma triangular superior:

Passo 6

Usamos retro-substituição a partir da última equação:
tfrac53x4=0 x4=0.
Depois, tfrac127x3+tfrac107cdot0=-tfrac127 x3=-1.
Em seguida, tfrac74x2+tfrac32(-1)=tfrac14 leva a x2=1.
Por fim, 4x1+3cdot1+2(-1)+0=1 x1=0.

Resposta

x1=0,;x2=1,;x3=-1,;x4=0

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