Utilizando o Método de Newton-Raphson, determine as raízes das funções elencadas abaixo dados seus respectivos intervalos. Verifique a Pertinência das raízes em seus respectivos intervalos utilizando o Teorema de Bolzano. Utilize todas as casas decimais da calculadora. Como critério de parada utilize 5 iterações, se possível. Compute o erro numérico de cada iteração como sendo o módulo da função para a raiz aproximada, ou seja, (|f(xk)|=varepsilon). Apresente as respostas finais aproximadas acompanhadas do respectivo erro numérico.
4-) f(x)=e^3 cdot x^2-10^x, pertencente ao intervalo I=[0,1 ; 1].

Passo 1

Estamos resolvendo a equação f(x)=e^3x^2-10^x no intervalo I=[0,1,1] usando o método de Newton–Raphson e verificando a existência de raiz com o Teorema de Bolzano.

Passo 2

Calculamos os sinais em I:
f(0,1)=e^3(0,1)^2-10^0,1approx1,03045-1,25893=-0,22848<0,
f(1)=e^3-10,igl=20,08554-10=10,08554>0
Como há troca de sinal, por Bolzano existe pelo menos uma raiz em [0,1,1].

Passo 3

Derivamos
f'(x)=ddxl(e^3x^2-10^xr)=6x,e^3x^2-10^xln(10)

Passo 4

No método de Newton usamos a iteração
xk+1=xk-f(xk)f'(xk),
escolhendo a aproximação inicial x0=1.

Passo 5

Executamos cinco iterações, calculando também o erro varepsilonk=|f(xk)|:
k=0: x0=1,000000, varepsilon0=|f(x0)|=10,0855369
k=1: x1=0,8964841, varepsilon1=3,270323
k=2: x2=0,8182601, varepsilon2=0,870010
k=3: x3=0,7776909, varepsilon3=0,145758
k=4: x4=0,7679299, varepsilon4=0,013002
k=5: x5=0,7669701, varepsilon5=0,00015

Resposta

A raiz aproximada após cinco iterações é xapprox0,76697 com erro numérico varepsilon5=|f(x5)|approx1,5times10^-4.

Exercícios relacionados