Resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
\left\{\begin{array}{r}2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=9 \x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=4 \\\ 3 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=8\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear e pede resolver para as incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}\): \[\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=9,\\[4pt] x_{1}-x_{2}+2x_{3}=4,\\[4pt] 3x_{1}+2x_{2}-x_{3}=8. \end{cases}
Informação dada: as três equações acima. Pergunta: encontrar os valores de (x_{1},x_{2},x_{3}] que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Vou usar eliminação de Gauss (eliminação por operações sobre equações) porque é um método direto para resolver sistemas lineares à mão. Antes de começar, um lembrete prático sobre operações permitidas (que não mudam o conjunto de soluções):
  • trocar duas equações entre si;
  • multiplicar uma equação por um escalar não nulo;
  • somar a uma equação um múltiplo de outra equação.
Essas operações são úteis para “zerar” coeficientes e obter um sistema triangular, do qual faz-se substituição regressiva (back-substitution). Vou representar o sistema pelas suas equações e aplicar operações passo a passo, explicando as contas.

Passo 3

Escrevendo as equações originais (para referência):
\begin{array}{r} (1)\quad 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=9,\\[4pt] (2)\quad x_{1}-x_{2}+2x_{3}=4,\\[4pt] (3)\quad 3x_{1}+2x_{2}-x_{3}=8. \end{array}
Repare que a equação (2) tem coeficiente 1 para x_{1}. É conveniente usar essa equação como pivô na primeira coluna, então vou trocar (1) e (2) para ter pivot igual a 1.]

Passo 4

Troca de equações: (1)\leftrightarrow(2). O sistema passa a ser
\begin{array}{r} (1)\quad x_{1}-x_{2}+2x_{3}=4,\\[4pt] (2)\quad 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=9,\\[4pt] (3)\quad 3x_{1}+2x_{2}-x_{3}=8. \end{array}
Comentário: essa troca é só reordenar; a solução não muda.]

Passo 5

Eliminar x_{1} nas equações (2) e (3) usando a equação (1) como pivô.
  • Fazer (2)\leftarrow(2)-2\cdot(1). Cálculo nos coeficientes: (2):\; (2x_{1}+x_{2}+x_{3})-2(x_{1}-x_{2}+2x_{3}) =0\cdot x_{1}+3x_{2}-3x_{3}.No lado direito: 9-2\cdot4=9-8=1. Logo (2) vira (2)\quad 3x_{2}-3x_{3}=1.
  • Fazer (3)\leftarrow(3)-3\cdot(1). Cálculo: (3):\; (3x_{1}+2x_{2}-x_{3})-3(x_{1}-x_{2}+2x_{3}) =0\cdot x_{1}+5x_{2}-7x_{3}.No lado direito: 8-3\cdot4=8-12=-4. Logo (3) vira (3)\quad 5x_{2}-7x_{3}=-4.
Agora o sistema ficou
\begin{array}{r} (1)\quad x_{1}-x_{2}+2x_{3}=4,\\[4pt] (2)\quad 3x_{2}-3x_{3}=1,\\[4pt] (3)\quad 5x_{2}-7x_{3}=-4. \end{array}]

Passo 6

Agora eliminamos x_{2} da equação (3) usando (2). Para evitar frações imediatas, faço uma combinação inteira: multiplicar (3) por 3 e subtrair 5 vezes (2):
3\cdot(3) - 5\cdot(2).
Calculemos o lado esquerdo (coeficientes):
3(5x_{2}-7x_{3}) - 5(3x_{2}-3x_{3}) = (15x_{2}-21x_{3}) - (15x_{2}-15x_{3}) = -6x_{3}.
Calculemos o lado direito:
3\cdot(-4) - 5\cdot 1 = -12 -5 = -17.
Portanto obtemos
-6x_{3} = -17.
Isolando x_{3}:
x_{3} = \dfrac{-17}{-6} = \dfrac{17}{6}.
Comentário: encontramos x_{3}. Agora voltamos para cima (substituição regressiva).

Passo 7

Substituir x_{3}=\dfrac{17}{6} na equação (2): (2) é 3x_{2}-3x_{3}=1.
Dividindo por 3 para facilitar:
x_{2}-x_{3}=\dfrac{1}{3}.
Agora substituindo x_{3}:
x_{2}-\dfrac{17}{6}=\dfrac{1}{3}.
Expressando \dfrac{1}{3} como \dfrac{2}{6} para somar frações com denominador 6:
x_{2}=\dfrac{17}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{19}{6}.
Então x_{2}=\dfrac{19}{6}.

Passo 8

Substituir x_{2} e x_{3} na equação (1): (1) é x_{1}-x_{2}+2x_{3}=4.
Colocando os valores:
x_{1}-\dfrac{19}{6}+2\cdot\dfrac{17}{6}=4.
Calcule 2\cdot\dfrac{17}{6}=\dfrac{34}{6}. Agrupando as frações:
x_{1} +\left(-\dfrac{19}{6}+\dfrac{34}{6}\right)=4, \qquad -\dfrac{19}{6}+\dfrac{34}{6}=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}.
Assim
x_{1}+\dfrac{5}{2}=4.
Isolando x_{1}:
x_{1}=4-\dfrac{5}{2}=\dfrac{8}{2}-\dfrac{5}{2}=\dfrac{3}{2}.
Logo x_{1}=\dfrac{3}{2}.

Passo 9

Verificação rápida (substituir de volta nas equações originais) — mostrar que satisfazem as três equações:
  • Primeira: 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\cdot\dfrac{3}{2}+\dfrac{19}{6}+\dfrac{17}{6}=3+\dfrac{36}{6}=3+6=9.
  • Segunda: x_{1}-x_{2}+2x_{3}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{19}{6}+2\cdot\dfrac{17}{6}=\dfrac{9}{6}-\dfrac{19}{6}+\dfrac{34}{6}=\dfrac{24}{6}=4.
  • Terceira: 3x_{1}+2x_{2}-x_{3}=3\cdot\dfrac{3}{2}+2\cdot\dfrac{19}{6}-\dfrac{17}{6}=\dfrac{9}{2}+\dfrac{38}{6}-\dfrac{17}{6}=\dfrac{9}{2}+\dfrac{21}{6}=\dfrac{9}{2}+\dfrac{7}{2}=\dfrac{16}{2}=8.
    Todas as três igualdades conferem, então a solução está correta. Parabéns — deu certo!

Resposta

x_{1}=\dfrac{3}{2}
x_{2}=\dfrac{19}{6}
x_{3}=\dfrac{17}{6}

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