Resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear e pede resolver para as incógnitas
Informação dada: as três equações acima. Pergunta: encontrar os valores de (x_{1},x_{2},x_{3}] que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]
Passo 2
Vou usar eliminação de Gauss (eliminação por operações sobre equações) porque é um método direto para resolver sistemas lineares à mão. Antes de começar, um lembrete prático sobre operações permitidas (que não mudam o conjunto de soluções):
- trocar duas equações entre si;
- multiplicar uma equação por um escalar não nulo;
- somar a uma equação um múltiplo de outra equação.
Essas operações são úteis para “zerar” coeficientes e obter um sistema triangular, do qual faz-se substituição regressiva (back-substitution). Vou representar o sistema pelas suas equações e aplicar operações passo a passo, explicando as contas.
Passo 3
Escrevendo as equações originais (para referência):
Repare que a equação
tem coeficiente
para
. É conveniente usar essa equação como pivô na primeira coluna, então vou trocar
e
para ter pivot igual a
.]
Passo 4
Troca de equações:
. O sistema passa a ser
Comentário: essa troca é só reordenar; a solução não muda.]
Passo 5
Eliminar
nas equações
e
usando a equação
como pivô.
- Fazer
. Cálculo nos coeficientes: No lado direito: . Logo vira - Fazer
. Cálculo: No lado direito: . Logo vira
Agora o sistema ficou
Passo 6
Agora eliminamos
da equação
usando
. Para evitar frações imediatas, faço uma combinação inteira: multiplicar
por
e subtrair
vezes
:
Calculemos o lado esquerdo (coeficientes):
Calculemos o lado direito:
Portanto obtemos
Isolando
:
Comentário: encontramos
. Agora voltamos para cima (substituição regressiva).
Passo 7
Substituir
na equação
:
é
.
Dividindo por para facilitar:
Dividindo por
Agora substituindo
:
Expressando
como
para somar frações com denominador
:
Então
.
Passo 8
Substituir
e
na equação
:
é
.
Colocando os valores:
Colocando os valores:
Calcule
. Agrupando as frações:
Assim
Isolando
:
Logo
.
Passo 9
Verificação rápida (substituir de volta nas equações originais) — mostrar que satisfazem as três equações:
- Primeira:
. - Segunda:
. - Terceira:
.
Todas as três igualdades conferem, então a solução está correta. Parabéns — deu certo!