Resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
\left\{\begin{array}{r}x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=7 \\\ 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=4 \\\ 3 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três incógnitas e pede encontrar o valor de cada desconhecida:
\begin{cases} x_{1}-x_{2}+2x_{3}=7,\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}-x_{3}=4,\\[4pt] 3x_{1}-2x_{2}+x_{3}=5. \end{cases}
As informações relevantes são exatamente as três equações acima. O objetivo final é determinar \,x_{1}\,,\,x_{2}\, e \,x_{3}\,.]

Passo 2

Vou resolver o sistema por eliminação (eliminação de Gauss), que é um método direto e prático: escrevemos a matriz aumentada do sistema, usamos operações elementares sobre linhas (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo) — operações que não mudam o conjunto de soluções — até obter uma forma triangular, e então fazemos substituição para encontrar as incógnitas. Cada operação será mostrada e explicada.

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes):
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & \vline & 7\\[4pt] 2 & 1 & -1 & \vline & 4\\[4pt] 3 & -2 & 1 & \vline & 5 \end{pmatrix}.
Aqui cada linha corresponde a uma equação; a última coluna é o vetor dos termos constantes.]

Passo 4

Eliminar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (usar a primeira linha para zerar as entradas nas linhas 2 e 3):
  • Fazer R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}. Cálculo componente a componente: \begin{aligned} &2-2\cdot1=0,\\\ &1-2\cdot(-1)=1+2=3,\\\ &-1-2\cdot2=-1-4=-5,\\\ &4-2\cdot7=4-14=-10. \end{aligned}
  • Fazer R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}. Cálculo: \begin{aligned} &3-3\cdot1=0,\\\ &-2-3\cdot(-1)=-2+3=1,\\\ &1-3\cdot2=1-6=-5,\\\ &5-3\cdot7=5-21=-16. \end{aligned}
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & \vline & 7\\[4pt] 0 & 3 & -5 & \vline & -10\\[4pt] 0 & 1 & -5 & \vline & -16 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para simplificar os cálculos, troco as linhas 2 e 3 de modo a ter um pivô igual a 1 na segunda linha (isso facilita eliminar abaixo):
Fazer R_{2}\leftrightarrow R_{3}. A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & \vline & 7\\[4pt] 0 & 1 & -5 & \vline & -16\\[4pt] 0 & 3 & -5 & \vline & -10 \end{pmatrix}.
Trocar linhas não altera o conjunto de soluções; apenas reordena as equações.]

Passo 6

Eliminar a entrada abaixo do pivô da segunda coluna (usar a nova segunda linha para zerar a segunda coluna da linha 3):
Fazer R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{2}. Cálculo:
\begin{aligned} &0-3\cdot0=0,\\\ &3-3\cdot1=0,\\\ &-5-3\cdot(-5)=-5+15=10,\\\ &-10-3\cdot(-16)=-10+48=38. \end{aligned}
A matriz agora é triangular:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & \vline & 7\\[4pt] 0 & 1 & -5 & \vline & -16\\[4pt] 0 & 0 & 10 & \vline & 38 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora a última linha dá diretamente 10x_{3}=38. Então calculamos x_{3}:
10x_{3}=38\quad\Rightarrow\quad x_{3}=\dfrac{38}{10}=\dfrac{19}{5}.
Expliquei: isolar a variável na equação que ficou com um único coeficiente não nulo é o objetivo da forma triangular.

Passo 8

Voltando uma linha (substituição para encontrar x_{2}). A segunda linha é x_{2}-5x_{3}=-16. Substituindo \,x_{3}=\dfrac{19}{5}\,:
x_{2}-5\cdot\dfrac{19}{5}=-16 \quad\Rightarrow\quad x_{2}-19=-16 \quad\Rightarrow\quad x_{2}= -16+19=3.
Observação didática: multiplicação e cancelamento de 5 simplificam as contas — por isso a escolha de pivô 1 na etapa anterior ajudou.

Passo 9

Finalmente, usar a primeira equação para obter x_{1}. A primeira linha é x_{1}-x_{2}+2x_{3}=7. Substituindo x_{2}=3 e x_{3}=\dfrac{19}{5}:
x_{1}-3+2\cdot\dfrac{19}{5}=7.
Calculando 2\cdot\dfrac{19}{5}=\dfrac{38}{5}. Então
x_{1}-3+\dfrac{38}{5}=7 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=7+3-\dfrac{38}{5}=10-\dfrac{38}{5}.
Colocando em denominação comum:
10=\dfrac{50}{5}\quad\Rightarrow\quad x_{1}=\dfrac{50}{5}-\dfrac{38}{5}=\dfrac{12}{5}.

Passo 10

Resumo rápido e verificação mental: obtivemos
x_{1}=\dfrac{12}{5},\qquad x_{2}=3,\qquad x_{3}=\dfrac{19}{5}.
Se quiser conferir, pode substituir esses valores em qualquer equação original (por exemplo na segunda: 2\cdot \tfrac{12}{5}+3-\tfrac{19}{5}=\tfrac{24-19}{5}+3=1+3=4, bate certinho).

Resposta

x_{1}=\dfrac{12}{5}
x_{2}=3
x_{3}=\dfrac{19}{5}

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