O enunciado fornece um sistema de três equações lineares com três incógnitas e pede que se determine os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3}. As equações são:
3x_{1}-2x_{2}+x_{3}=7
x_{1}+x_{2}+3x_{3}=1
2x_{1}-3x_{2}-x_{3}=5
Informações relevantes dadas:
Três incógnitas: x_{1}, x_{2}, x_{3}.
Três equações lineares escritas acima.
O pedido é: encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3} que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Passo 2
Vou usar eliminação por operações elementares entre linhas (uma versão de eliminação de Gauss) para escalonar o sistema e depois fazer substituição regressiva. Antes de começar, explico rapidamente as operações elementares que são permitidas e por que preservam as soluções:
Trocar duas equações entre si.
Multiplicar uma equação por um número não nulo.
Somar a uma equação um múltiplo de outra equação.
Todas essas operações produzem sistemas equivalentes (mesmo conjunto de soluções). Aqui usarei principalmente a terceira operação (substituição de linha por ela mesma menos/mais um múltiplo de outra) e, quando conveniente, multiplicações por escalares inteiros para evitar frações intermediárias.
Passo 3
Escrevo a forma matricial aumentada do sistema (matriz dos coeficientes com a coluna dos termos constantes). Isso ajuda a organizar as operações:
Primeiro objetivo: eliminar x_{1} das equações 2 e 3 usando a equação 1 como pivô. Para evitar frações, faço combinações lineares com multiplicadores inteiros.
Faço:
R_{2}\leftarrow 3R_{2}-R_{1}. Isso porque 3\cdot(x_{1}+\cdots)- (3x_{1}+\cdots) anula x_{1}.
R_{3}\leftarrow 3R_{3}-2R_{1}. Isso porque 3\cdot(2x_{1}+\cdots)-2\cdot(3x_{1}+\cdots) anula x_{1}.
Agora temos um sistema triangular superior parcial; as duas últimas linhas envolvem só x_{2} e x_{3}. Escrevendo essas duas equações:
5x_{2}+8x_{3}=-4
-5x_{2}-5x_{3}=1
Vou eliminar x_{2} somando essas duas equações, porque os coeficientes de x_{2} são opostos (5 e -5).
Passo 6
Somando as duas equações:
(5x_{2}+8x_{3})+(-5x_{2}-5x_{3}) = -4 + 1
(5x_{2}-5x_{2}) + (8x_{3}-5x_{3}) = -3
3x_{3} = -3
Logo:
x_{3} = -1.
Passo 7
Com x_{3}=-1, uso uma das equações das linhas 2 ou 3 para achar x_{2}. Usando a equação 5x_{2}+8x_{3}=-4:
5x_{2} + 8\cdot(-1) = -4
5x_{2} - 8 = -4
5x_{2} = -4 + 8 = 4
x_{2} = \frac{4}{5}.
Passo 8
Agora que tenho x_{2} e x_{3}, faço substituição na primeira equação para determinar x_{1}. A primeira equação é 3x_{1}-2x_{2}+x_{3}=7. Substituo x_{2}=\dfrac{4}{5} e x_{3}=-1: