Resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
\left\{\begin{array}{r}3 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=7 \x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=1 \\\ 2 x_{1}-3 x_{2}-x_{3}=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece um sistema de três equações lineares com três incógnitas e pede que se determine os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3}. As equações são:
3x_{1}-2x_{2}+x_{3}=7
x_{1}+x_{2}+3x_{3}=1
2x_{1}-3x_{2}-x_{3}=5
Informações relevantes dadas:
  • Três incógnitas: x_{1}, x_{2}, x_{3}.
  • Três equações lineares escritas acima.
    O pedido é: encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3} que satisfazem todas as equações simultaneamente.

Passo 2

Vou usar eliminação por operações elementares entre linhas (uma versão de eliminação de Gauss) para escalonar o sistema e depois fazer substituição regressiva. Antes de começar, explico rapidamente as operações elementares que são permitidas e por que preservam as soluções:
  • Trocar duas equações entre si.
  • Multiplicar uma equação por um número não nulo.
  • Somar a uma equação um múltiplo de outra equação.
    Todas essas operações produzem sistemas equivalentes (mesmo conjunto de soluções). Aqui usarei principalmente a terceira operação (substituição de linha por ela mesma menos/mais um múltiplo de outra) e, quando conveniente, multiplicações por escalares inteiros para evitar frações intermediárias.

Passo 3

Escrevo a forma matricial aumentada do sistema (matriz dos coeficientes com a coluna dos termos constantes). Isso ajuda a organizar as operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 1 & 7\\[4pt] 1 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 2 & -3 & -1 & 5 \end{array}\right]]

Passo 4

Primeiro objetivo: eliminar x_{1} das equações 2 e 3 usando a equação 1 como pivô. Para evitar frações, faço combinações lineares com multiplicadores inteiros.
Faço:
  • R_{2}\leftarrow 3R_{2}-R_{1}. Isso porque 3\cdot(x_{1}+\cdots)- (3x_{1}+\cdots) anula x_{1}.
  • R_{3}\leftarrow 3R_{3}-2R_{1}. Isso porque 3\cdot(2x_{1}+\cdots)-2\cdot(3x_{1}+\cdots) anula x_{1}.
Calculo cada nova linha:
Para R_{2}:
3R_{2}-R_{1}:\quad 3\cdot(1,\;1,\;3\;|\;1)- (3,\;-2,\;1\;|\;7)
= (3,\;3,\;9\;|\;3) - (3,\;-2,\;1\;|\;7) = (0,\;5,\;8\;|\;-4).
Para R_{3}:
3R_{3}-2R_{1}:\quad 3\cdot(2,\;-3,\;-1\;|\;5)-2\cdot(3,\;-2,\;1\;|\;7)
= (6,\;-9,\;-3\;|\;15) - (6,\;-4,\;2\;|\;14) = (0,\;-5,\;-5\;|\;1).
Assim a matriz aumentada vira:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 5 & 8 & -4\\[4pt] 0 & -5 & -5 & 1 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora temos um sistema triangular superior parcial; as duas últimas linhas envolvem só x_{2} e x_{3}. Escrevendo essas duas equações:
5x_{2}+8x_{3}=-4
-5x_{2}-5x_{3}=1
Vou eliminar x_{2} somando essas duas equações, porque os coeficientes de x_{2} são opostos ( 5 e -5).

Passo 6

Somando as duas equações:
(5x_{2}+8x_{3})+(-5x_{2}-5x_{3}) = -4 + 1
(5x_{2}-5x_{2}) + (8x_{3}-5x_{3}) = -3
3x_{3} = -3
Logo:
x_{3} = -1.

Passo 7

Com x_{3}=-1, uso uma das equações das linhas 2 ou 3 para achar x_{2}. Usando a equação 5x_{2}+8x_{3}=-4:
5x_{2} + 8\cdot(-1) = -4
5x_{2} - 8 = -4
5x_{2} = -4 + 8 = 4
x_{2} = \frac{4}{5}.

Passo 8

Agora que tenho x_{2} e x_{3}, faço substituição na primeira equação para determinar x_{1}. A primeira equação é 3x_{1}-2x_{2}+x_{3}=7. Substituo x_{2}=\dfrac{4}{5} e x_{3}=-1:
3x_{1} - 2\cdot\frac{4}{5} + (-1) = 7.
Calculo passo a passo:
-2\cdot\frac{4}{5} = -\frac{8}{5}.
Então:
3x_{1} - \frac{8}{5} - 1 = 7.
Como -\frac{8}{5} - 1 = -\frac{8}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{13}{5}, temos:
3x_{1} - \frac{13}{5} = 7.
Passe o termo para a direita:
3x_{1} = 7 + \frac{13}{5} = \frac{35}{5} + \frac{13}{5} = \frac{48}{5}.
Logo:
x_{1} = \frac{48}{5}\cdot\frac{1}{3} = \frac{48}{15} = \frac{16}{5}.

Passo 9

Fazendo uma checagem rápida nas outras equações para verificar coerência:
Segunda equação x_{1}+x_{2}+3x_{3}:
\frac{16}{5} + \frac{4}{5} + 3\cdot(-1) = \frac{20}{5} - 3 = 4 - 3 = 1,
confere com o lado direito 1.
Terceira equação 2x_{1}-3x_{2}-x_{3}:
2\cdot\frac{16}{5} - 3\cdot\frac{4}{5} - (-1) = \frac{32}{5} - \frac{12}{5} + 1 = \frac{20}{5} + 1 = 4 + 1 = 5,
confere com o lado direito 5.
Tudo verifica direitinho — solução está correta.

Resposta

x_{1}=\dfrac{16}{5},\quad x_{2}=\dfrac{4}{5},\quad x_{3}=-1

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