Resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
\left\{\begin{array}{l}5 x_{1}+3 x_{2}=7 \\\ 3 x_{1}-5 x_{2}=-23\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e encontrar os valores de x_{1}\) e \(x_{2}\). O sistema dado é \[\begin{cases} 5x_{1}+3x_{2}=7,\\[6pt] 3x_{1}-5x_{2}=-23. \end{cases}
Informações relevantes retiradas do enunciado:
  • As incógnitas são \,x_{1}\] e \(\,x_{2}.
  • As equações lineares têm coeficientes inteiros: na primeira (5,3) e termo constante 7; na segunda (3,-5) e termo constante -23.
  • Objetivo: determinar \,x_{1} e \,x_{2} que satisfazem ambas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Estratégia (explicação didática): vou usar o método da eliminação (também chamado adição/soma), que consiste em combinar múltiplos das equações de modo a cancelar uma incógnita e obter uma equação só numa incógnita. É uma técnica direta e fácil de aplicar sem calculadora: multiplicam-se as equações por números inteiros para tornar os coeficientes de uma incógnita opostos, e depois soma/subtrai-se as equações.

Passo 3

Escolher a incógnita a eliminar: aqui escolho eliminar x_{1}. Para isso, faço múltiplos das equações de modo que os coeficientes de x_{1} fiquem opostos. Os coeficientes atuais são 5 e 3; um múltiplo comum é 15. Multiplico a primeira equação por 3 e a segunda por -5 (o sinal negativo torna um coeficiente oposto ao outro):
Multiplicando a primeira por 3:
3\cdot(5x_{1}+3x_{2}=7)\;\Longrightarrow\;15x_{1}+9x_{2}=21.
Multiplicando a segunda por -5:
(-5)\cdot(3x_{1}-5x_{2}=-23)\;\Longrightarrow\;-15x_{1}+25x_{2}=115.

Passo 4

Somar as duas equações resultantes para eliminar x_{1}:
(15x_{1}+9x_{2}=21)+(-15x_{1}+25x_{2}=115)
Ao somar membro a membro obtemos:
(15x_{1}-15x_{1})+(9x_{2}+25x_{2})=21+115,
ou seja
34x_{2}=136.
Agora resolvo essa equação simples dividindo ambos os lados por 34:
x_{2}=\frac{136}{34}=4.

Passo 5

Com x_{2}=4 encontrado, substituo numa das equações originais para achar x_{1}. Uso a primeira equação \,5x_{1}+3x_{2}=7:
5x_{1}+3\cdot 4=7.
Calculo o produto:
5x_{1}+12=7.
Isolo x_{1} subtraindo 12 dos dois lados:
5x_{1}=7-12=-5.
Divido por 5:
x_{1}=\frac{-5}{5}=-1.

Passo 6

Verificação (sempre bom checar na prova): substituo \,x_{1}=-1 e \,x_{2}=4 nas duas equações originais.
Primeira equação:
5(-1)+3(4)=-5+12=7,
que corresponde ao termo direito 7.
Segunda equação:
3(-1)-5(4)=-3-20=-23,
que corresponde ao termo direito -23.
Como ambas as equações são satisfeitas, a solução está correta.

Resposta

x_{1}=-1
x_{2}=4

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