Sabe-se que a corrente de um capacitor de 50 mF é dada pela equação abaixo. Considere uma corrente inicial de 1 mA e uma tensão de -2 V . Determine:
i(t)=A 1 e^{-100 t}+A 2 e^{-150 t}
a) A expressão da tensão do capacitor.
b) Determine a expressão da potência do capacitor.

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Corrente do capacitor:
i(t)=A_1 e^{-100 t}+A_2 e^{-150 t}.
  • Capacitância do capacitor: C=50\,\text{mF}=50\times10^{-3}\,\text{F}.
  • Condições iniciais dadas: corrente inicial i(0)=1\,\text{mA}=1\times10^{-3}\,\text{A} e tensão inicial v(0)=-2\,\text{V}.
  • O que pedirão:
    a) Determinar a expressão da tensão v(t) do capacitor para t\ge0.
    b) Determinar a expressão da potência p(t) absorvida (ou fornecida) pelo capacitor.
Observação importante (informação extra que podemos extrair já): avaliando i(0) obtemos
i(0)=A_1+A_2=1\times10^{-3}\,\text{A},
logo A_1 e A_2 não são independentemente conhecidos, apenas sua soma é conhecida. A tensão v(t) será expressa em termos de A_1 e A_2 (com a relação acima) e da condição v(0)=-2\,\text{V}.

Passo 2

Lembrando a relação fundamental entre corrente e tensão no capacitor: a corrente num capacitor é proporcional à derivada temporal da tensão. A fórmula é
i(t)=C\,\dfrac{dv(t)}{dt}.
Aqui:
  • i(t) é a corrente em amperes,
  • C é a capacitância em farads,
  • v(t) é a tensão em volts,
  • \dfrac{dv}{dt} é a derivada de v em relação a t.
A partir disso isolamos a derivada:
\dfrac{dv(t)}{dt}=\dfrac{i(t)}{C}.

Passo 3

Integramos a equação para obter v(t). Escrevendo explicitamente:
\dfrac{dv(t)}{dt}=\dfrac{1}{C}\bigl(A_1 e^{-100 t}+A_2 e^{-150 t}\bigr).
Integramos de 0 a t:
v(t)-v(0)=\dfrac{1}{C}\int_{0}^{t}\bigl(A_1 e^{-100 \tau}+A_2 e^{-150 \tau}\bigr)\,d\tau.
Agora calculamos as integrais separadamente. Para a\neq0,
\int_{0}^{t} e^{-a\tau}\,d\tau=\left[-\dfrac{1}{a}e^{-a\tau}\right]_{0}^{t}=\dfrac{1}{a}\bigl(1-e^{-a t}\bigr).
Aplicando isso às duas parcelas:
\int_{0}^{t}A_1 e^{-100\tau}\,d\tau=\dfrac{A_1}{100}\bigl(1-e^{-100 t}\bigr),
\int_{0}^{t}A_2 e^{-150\tau}\,d\tau=\dfrac{A_2}{150}\bigl(1-e^{-150 t}\bigr).
Portanto
v(t)=v(0)+\dfrac{1}{C}\left[\dfrac{A_1}{100}\bigl(1-e^{-100 t}\bigr)+\dfrac{A_2}{150}\bigl(1-e^{-150 t}\bigr)\right].

Passo 4

Substituímos v(0)=-2\,\text{V} e C=50\times10^{-3}\,\text{F}. Primeiro calculemos \dfrac{1}{C}:
\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{50\times10^{-3}}=20\quad(\text{unidade: }\text{F}^{-1}).
Multiplicando os fatores:
\dfrac{1}{C}\cdot\dfrac{1}{100}=20\cdot\dfrac{1}{100}=0,2, \qquad \dfrac{1}{C}\cdot\dfrac{1}{150}=20\cdot\dfrac{1}{150}=\dfrac{2}{15}\approx0,133\overline{3}.
Assim uma forma conveniente para v(t) é
v(t)=-2+0,2\,A_1\bigl(1-e^{-100 t}\bigr)+\dfrac{2}{15}\,A_2\bigl(1-e^{-150 t}\bigr).
Lembre que A_1 e A_2 satisfazem A_1+A_2=1\times10^{-3}\,\text{A} (condição fornecida por i(0)).

Passo 5

Agora vamos obter a potência instantânea no capacitor. A potência elétrica instantânea é
p(t)=v(t)\,i(t).
Usamos a expressão de v(t) já obtida e a de i(t). Escrevendo explicitamente v(t)=v(0)+\Delta v(t) com \Delta v(t)=\dfrac{1}{C}\bigl(\dfrac{A_1}{100}(1-e^{-100 t})+\dfrac{A_2}{150}(1-e^{-150 t})\bigr), temos
p(t)=v(0)\,i(t)+\Delta v(t)\,i(t).
Substituindo v(0)=-2 e desenvolvendo os termos:
p(t)=-2\bigl(A_1 e^{-100 t}+A_2 e^{-150 t}\bigr) +\dfrac{1}{C}\Biggl[\dfrac{A_1}{100}\bigl(1-e^{-100 t}\bigr)+\dfrac{A_2}{150}\bigl(1-e^{-150 t}\bigr)\Biggr]\bigl(A_1 e^{-100 t}+A_2 e^{-150 t}\bigr).

Passo 6

É útil expandir o produto para ver os termos que aparecem (cada termo tem unidade de potência, isto é, watts). Expandindo completamente a parte que envolve \dfrac{1}{C} obtemos quatro parcelas de produto exponencial:
\begin{aligned} p(t)={}&-2\bigl(A_1 e^{-100 t}+A_2 e^{-150 t}\bigr) \\\ &+ \dfrac{A_1^{2}}{100\,C}\,e^{-100 t}\bigl(1-e^{-100 t}\bigr) + \dfrac{A_1A_2}{100\,C}\,e^{-150 t}\bigl(1-e^{-100 t}\bigr)\\\ &+ \dfrac{A_1A_2}{150\,C}\,e^{-100 t}\bigl(1-e^{-150 t}\bigr) + \dfrac{A_2^{2}}{150\,C}\,e^{-150 t}\bigl(1-e^{-150 t}\bigr). \end{aligned}
Substituindo novamente C=50\times10^{-3}\,\text{F} para simplificar os coeficientes:
\dfrac{1}{100\,C}=0,2,\qquad \dfrac{1}{150\,C}=\dfrac{2}{15}\approx0,133\overline{3}.
Portanto, uma forma numérica compacta é
\begin{aligned} p(t)={}&-2\bigl(A_1 e^{-100 t}+A_2 e^{-150 t}\bigr) \\\ &+0,2\,A_1^{2}\,e^{-100 t}\bigl(1-e^{-100 t}\bigr) +0,2\,A_1A_2\,e^{-150 t}\bigl(1-e^{-100 t}\bigr)\\\ &+\dfrac{2}{15}\,A_1A_2\,e^{-100 t}\bigl(1-e^{-150 t}\bigr) +\dfrac{2}{15}\,A_2^{2}\,e^{-150 t}\bigl(1-e^{-150 t}\bigr), \end{aligned}
com todas as constantes e expoentes explicitados. Essa é a expressão da potência em watts (unidades: \text{V}\times\text{A}=\text{W}).

Resposta

a) v(t)=-2+\dfrac{1}{C}\!\left[\dfrac{A_1}{100}\bigl(1-e^{-100 t}\bigr)+\dfrac{A_2}{150}\bigl(1-e^{-150 t}\bigr)\right]
\text{com }C=50\times10^{-3}\,\text{F},\text{ ou seja }v(t)=-2+0,2\,A_1\bigl(1-e^{-100 t}\bigr)+\dfrac{2}{15}\,A_2\bigl(1-e^{-150 t}\bigr),
e A_1+A_2=1\times10^{-3}\,\text{A}.
b) p(t)=v(t)\,i(t), explicitamente
\begin{aligned} p(t)={}&-2\bigl(A_1 e^{-100 t}+A_2 e^{-150 t}\bigr) \\\ &+0,2\,A_1^{2}\,e^{-100 t}\bigl(1-e^{-100 t}\bigr) +0,2\,A_1A_2\,e^{-150 t}\bigl(1-e^{-100 t}\bigr)\\\ &+\dfrac{2}{15}\,A_1A_2\,e^{-100 t}\bigl(1-e^{-150 t}\bigr) +\dfrac{2}{15}\,A_2^{2}\,e^{-150 t}\bigl(1-e^{-150 t}\bigr), \end{aligned}
com A_1+A_2=1\times10^{-3}\,\text{A}.

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