Sabe-se que a corrente de um capacitor de 50 mF é dada pela equação abaixo. Considere uma corrente inicial de 1 mA e uma tensão de -2 V . Determine:
a) A expressão da tensão do capacitor.
b) Determine a expressão da potência do capacitor.
b) Determine a expressão da potência do capacitor.
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado fornece e o que pede.
- Corrente do capacitor:
- Capacitância do capacitor:
. - Condições iniciais dadas: corrente inicial
e tensão inicial . - O que pedirão:
a) Determinar a expressão da tensãodo capacitor para .
b) Determinar a expressão da potênciaabsorvida (ou fornecida) pelo capacitor.
Observação importante (informação extra que podemos extrair já): avaliando
obtemos
logo
e
não são independentemente conhecidos, apenas sua soma é conhecida. A tensão
será expressa em termos de
e
(com a relação acima) e da condição
.
Passo 2
Lembrando a relação fundamental entre corrente e tensão no capacitor: a corrente num capacitor é proporcional à derivada temporal da tensão. A fórmula é
Aqui:
-
é a corrente em amperes, -
é a capacitância em farads, -
é a tensão em volts, -
é a derivada de em relação a .
A partir disso isolamos a derivada:
Passo 3
Integramos a equação para obter
. Escrevendo explicitamente:
Integramos de
a
:
Agora calculamos as integrais separadamente. Para
,
Aplicando isso às duas parcelas:
Portanto
Passo 4
Substituímos
e
. Primeiro calculemos
:
Multiplicando os fatores:
Assim uma forma conveniente para
é
Lembre que
e
satisfazem
(condição fornecida por
).
Passo 5
Agora vamos obter a potência instantânea no capacitor. A potência elétrica instantânea é
Usamos a expressão de
já obtida e a de
. Escrevendo explicitamente
com
, temos
Substituindo
e desenvolvendo os termos:
Passo 6
É útil expandir o produto para ver os termos que aparecem (cada termo tem unidade de potência, isto é, watts). Expandindo completamente a parte que envolve
obtemos quatro parcelas de produto exponencial:
Substituindo novamente
para simplificar os coeficientes:
Portanto, uma forma numérica compacta é
com todas as constantes e expoentes explicitados. Essa é a expressão da potência em watts (unidades:
).
Resposta
a)
e
b)
, explicitamente
com
.