Resolva os seguintes sistemas de inequações:
\left\{\begin{array}{l}2 x+5>-3 \\\ \frac{x^{2}-2 x+5}{-x^{2}-2 x} \leq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema de inequações
\begin{cases} 2x + 5 > -3,\\\ \dfrac{x^{2} - 2x + 5}{-\,x^{2} - 2x} \le 0. \end{cases}
O primeiro é uma inequação linear em x. A segunda é uma inequação racional; vamos precisar:
  1. Determinar o domínio excluindo zeros do denominador.
  2. Analisar o sinal de numerador e denominador para montar o diagrama de sinais.

Passo 2

Resolvendo a inequação linear
2x + 5 > -3
subtraindo 5 de ambos os lados e dividindo por 2, obtemos
2x > -8 \quad\Longrightarrow\quad x > -4.

Passo 3

Para a inequação racional
\frac{x^{2}-2x+5}{-\,x^{2}-2x} \le 0
notamos que o numerador
x^{2} - 2x + 5 = (x-1)^{2} + 4
é sempre positivo (é soma de quadrado e 4>0), nunca zera. O denominador é
-\,x^{2} - 2x = -\,x\,(x+2),
que zera em x=0 e x=-2, valores excluídos do domínio. Como o numerador é sempre >0, a fração só pode ser \le0 quando for estritamente negativa. Logo, precisamos que o denominador seja negativo:
-\,x\,(x+2) < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\,(x+2) > 0.
A solução dessa inequação quadrática é
x < -2 \quad\text{ou}\quad x > 0,
com x\neq -2 e x\neq 0.

Passo 4

Agora intersectamos as soluções de cada inequação:
  • De 2x+5>-3 vem x>-4.
  • De \frac{x^{2}-2x+5}{-x^{2}-2x}\le0 vem x\in(-\infty,-2)\cup(0,\infty).
Fazendo x>-4 intersectado com (-\infty,-2)\cup(0,\infty), obtemos
(-4,-2)\cup(0,\infty),
lembrando que os pontos -2 e 0 estão excluídos (denominador nulo) e -4 também (inequação linear estrita).

Resposta

x\in(-4,-2)\cup(0,\infty).

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