Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método do escalonamento e classifique-os em:
  • (SPD) Sistema Possível Determinado.
  • (SPI) Sistema Possível Indeterminado.
  • (SI) Sistema Impossível.
\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\\ 2 x-y=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x+y=4,\\\\ 2x-y=1 \end{cases}
pelo método do escalonamento (eliminação de variáveis) e depois classificá-lo como SPD, SPI ou SI.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma de matriz aumentada:
\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 4\\\\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right].

Passo 3

Eliminamos a variável x na segunda linha usando a operação
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Isso transforma a matriz em
\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 4\\\\ 0 & -3 & -7 \end{array} \right].

Passo 4

O sistema escalonado correspondente é
\begin{cases} x + y = 4,\\\\ -3y = -7. \end{cases}
Da segunda equação obtemos
y = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}.
Substituindo na primeira:
x = 4 - y = 4 - \frac{7}{3} = \frac{12-7}{3} = \frac{5}{3}.

Passo 5

Como os pivôs são 1 (na primeira linha) e -3 (na segunda linha), ambos diferentes de zero, o sistema tem solução única. Logo, é um sistema possível e determinado (SPD).

Resposta

O sistema é SPD com solução
x = \frac{5}{3},\quad y = \frac{7}{3}.

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