Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método do escalonamento e classifique-os em:
  • (SPD) Sistema Possível Determinado.
  • (SPI) Sistema Possível Indeterminado.
  • (SI) Sistema Impossível.
\left\{\begin{array}{l}x-2 y+z=0 \\\ 2 x+y-z=3 \\\ 3 x-y+2 z=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x - 2y + z = 0,\\\\ 2x + y - z = 3,\\\\ 3x - y + 2z = 5.
O conteúdo envolve resolução de sistemas lineares por escalonamento (eliminação de Gauss) e a classificação em SPD, SPI ou SI.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares para triangularizar:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & -1 & 3\\\\ 3 & -1 & 2 & 5 \end{array}\right]
Fazendo R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-3R_1, vem
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 5 & -3 & 3\\\\ 0 & 5 & -1 & 5 \end{array}\right].
Em seguida, R_3\leftarrow R_3-R_2
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 5 & -3 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{array}\right].

Passo 3

Fazendo substituição regressiva:
Da terceira linha,
2z=2
logo
z=1.
Da segunda linha,
5y-3z=3
5y-3\cdot1=3
5y=6
y=\tfrac{6}{5}.
Da primeira linha,
x-2y+z=0
x-2\cdot\tfrac{6}{5}+1=0
x-\tfrac{12}{5}+1=0
x=\tfrac{7}{5}.

Passo 4

Obtemos solução única \bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(\tfrac{7}{5},\tfrac{6}{5},1\bigr). Logo o sistema é Possível Determinado (SPD).

Resposta

(x,y,z)=\bigl(\tfrac{7}{5},\tfrac{6}{5},1\bigr), SPD.

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