Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método do escalonamento e classifique-os em:
  • (SPD) Sistema Possível Determinado.
  • (SPI) Sistema Possível Indeterminado.
  • (SI) Sistema Impossível.
\left\{\begin{array}{l}2 x-y+z=1 \\\ -x+2 y-z=2 \\\ 3 x+y+z=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x - y + z = 1,\\\\ -\,x + 2y - z = 2,\\\\ 3x + y + z = 4 \end{cases}
e pede para usar o método do escalonamento (eliminação de Gauss) para encontrar a solução e classificá-lo como SPD, SPI ou SI.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 1\\\\ -1 & 2 & -1 & 2\\\\ 3 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right].
O pivô inicial é o elemento \,2 na posição (1,1). Vamos usar combinações lineares para zerar as entradas de x nas linhas 2 e 3.

Passo 3

Eliminamos x em L2 e L3:
  • Em L2 adicionamos \tfrac12 de L1 a L2:
    \text{L2}\leftarrow\text{L2} + \tfrac12\,\text{L1}.
  • Em L3 subtraímos \tfrac32 de L1 de L3:
    \text{L3}\leftarrow\text{L3} - \tfrac32\,\text{L1}.
    O resultado é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 1\\\\ 0 & \tfrac32 & -\tfrac12 & \tfrac52\\\\ 0 & \tfrac52 & -\tfrac12 & \tfrac52 \end{array}\right].

Passo 4

Para evitar frações, multiplicamos L2 e L3 por 2:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & -1 & 5\\\\ 0 & 5 & -1 & 5 \end{array}\right].
Agora eliminamos y em L3 subtraindo L2 de L3:
\text{L3}\leftarrow\text{L3} - \text{L2}, obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & -1 & 5\\\\ 0 & 2 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 5

A última linha dá 2y = 0, logo
y = 0.
Substituindo em L2:
3\cdot 0 - z = 5 \quad\Longrightarrow\quad z = -5.
Finalmente, na primeira equação:
2x - 0 + (-5) = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.

Passo 6

Encontramos uma única solução (x,y,z) = (3,0,-5). Isso caracteriza um sistema possível e determinado (SPD).

Resposta

O sistema é SPD e sua solução é
(x,y,z) = (3,0,-5).

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