Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(l)\left\{\begin{aligned}3 x+2 y-4 z & =1 \\\ x-y+z & =3 \\\ x-y-3 z & =-3, \\\\ 3 x+3 y-5 z & =0 \\\\ -x+y+z & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o sistema
\begin{cases} 3x+2y-4z=1,\\\ x-y+z=3,\\\ x-y-3z=-3,\\\\ 3x+3y-5z=0,\\\\ - x+y+z=1, \end{cases}
e vamos usar o método de Gauss–Jordan (eliminação de variáveis e pivôs) para resolver e classificar o sistema.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e, para facilitar, trocamos a linha 1 pela linha 2 (pois ela já tem 1 como coeficiente de x):
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\\\ 3 & 2 & -4 & 1\\\\ 1 & -1 & -3 & -3\\\\ 3 & 3 & -5 & 0\\\\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)

Passo 3

Eliminamos x das linhas 2 a 5 usando a linha 1 como pivô:
R_{2} R_{2}−3  R_{1}, R_{3} R_{3} R_{1}, R_{4} R_{4}−3  R_{1}, R_{5} R_{5}+ R_{1}. O resultado é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\\\ 0 & 5 & -7 & -8\\\\ 0 & 0 & -4 & -6\\\\ 0 & 6 & -8 & -9\\\\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right)

Passo 4

Normalizamos o pivô da coluna y dividindo R_{2} por 5 e apagamos y de R_{1} e R_{4}:
R_{2} R_{2}/5, R_{1} R_{1}+ R_{2}, R_{4} R_{4}−6  R_{2}. Assim obtém-se
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{7}{5}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{7}{5} & -\tfrac{8}{5}\\\\ 0 & 0 & -4 & -6\\\\ 0 & 0 & \tfrac{2}{5} & \tfrac{3}{5}\\\\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right)

Passo 5

Normalizamos o pivô da coluna z dividindo R_{3} por -4 e zeramos z em todas as outras linhas:
R_{3} R_{3}/(−4), depois R_{1} R_{1}+(\tfrac{2}{5})  R_{3}, R_{2} R_{2}+(\tfrac{7}{5})  R_{3}, R_{4} R_{4}−(\tfrac{2}{5})  R_{3}, R_{5} R_{5}−2  R_{3}. O resultado final é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 0 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac32\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

Passo 6

A última linha dá 0=1, contradição. Logo o sistema não admite solução.

Resposta

O sistema é incompatível (não tem solução).

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